Позволять $\{x_n\}$ быть последовательностью в $(0, 1)$ такой, что $x_n \to 0$. Покажите, что последовательность $\{f(x_n)\}$ сходится.
Я пытаюсь решить следующую проблему:
Предположим, что $f: (0, 1) \to \mathbb R$равномерно непрерывно. Позволять$\{x_n\}$ быть последовательностью в $(0, 1)$ такой, что $x_n \to 0$. Покажите, что последовательность$\{f(x_n)\}$ сходится.
Я думаю, если вообще $f(x_n)$ сходится, он должен сходиться к $f(0)$ но я не уверен, из какой теоремы (?) это следует.
Во-вторых, если бы мы говорили, что имеем дело с интервалом $[0, 1]$ скорее, чем $(0, 1)$Думаю, у меня есть идея, как подойти. поскольку$f(x)$ будет равномерно непрерывным на $[0, 1]$ для каждого $\epsilon > 0$ у нас будет $\delta_\epsilon$ так что если $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ тогда $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Поскольку,$x_n \to 0$ Я думаю, мы всегда можем выбрать несколько $N \in \mathbb N$ так что для $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Так что у нас будет это для всех$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ для некоторого выбора $\epsilon > 0$.
Но здесь мы имеем дело с открытым интервалом $(0, 1)$ скорее, чем $[0, 1]$ и поэтому мы не гарантируем, что для каждого $\epsilon > 0$ у нас будет $\delta_\epsilon$ так что если $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ тогда $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Это потому, что определение равномерной непрерывности просто говорит:
Позволять $(X, d_X)$ и $(Y, d_Y)$ - два метрических пространства и пусть $f: X \to Y$. Мы говорим что$f$ равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда для всех $\epsilon > 0$ Существует $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ такое, что для всех $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.
Но учтите, что в случае $f: (0, 1) \to \mathbb R$ точка $0$ не лежит в $(0, 1)$! Так что нам не гарантировано, что для всех$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, где $X = (0, 1)$ и $Y = \mathbb R$ в данном контексте.
Есть идеи, как исправить это доказательство? Кроме того, почему$f(x_n)$ обязательно сходятся к $f(0)$ если $x_n \to 0$? Является ли это каким-то особенным свойством равномерно непрерывных функций?
Ответы
Показать, используя равномерную непрерывность $f$, тот $(f(x_n))_n$ является последовательностью Коши. $f(0)$ не определено в ваших настройках (домен $f$ является $(0,1)$), поэтому вы не можете заключить, что $f(x_n) \to f(0)$. Однако поскольку$\Bbb R$полная, последовательность допускает предел. Обратите внимание, что равномерно непрерывные функции непрерывны, поэтому, если функция$g$ определено на $[0,1]$ равномерно непрерывно, то, будучи, в частности, непрерывным, верно, что $g(x_n)\to g(0)$.
Один из подходов заключается в использовании того факта, что если $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ равномерно непрерывна на $(a,b)$, тогда $f$ допускает единственное равномерно непрерывное продолжение на $[a,b]$. В этом случае вы можете однозначно определить значение$f(0)$ такой, что $f:[0,1)\to\mathbb{R}$равномерно непрерывно. Тогда можно сделать вывод, что$f(x_n)\to f(0)$ по преемственности.
Поскольку f (x) непрерывна, $\forall \epsilon, \exists \delta$ так что когда $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.
За $x_n\to 0$, $\exists N,$ так что когда $n>N, |x_n-0|<\delta$.
Следовательно $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ сходится.
Исправление: как сказал @FormulaWriter, $f(0)$ четко не определен, поэтому лучше заменить $f(0)$ выше как $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.