Правильно ли я делаю формулы Виета?

Question

Мне дали это упражнение: $x^2 - (m+3)x + m + 2$, Я должен проверить, какие реальные значения параметра $m$ можно использовать для этого:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Я умножаю обе стороны на 2x1x2) и получаю следующее:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

что приводит к $m > -4$ используя формулы Виета

После этого у меня есть еще один аргумент, $x_1^2 + x_2^2 < 5$

После решения я получаю это $m$ находится в интервале $(-4,0)$

Моя книга сообщает мне окончательный результат для возможных $M$ решения находится в интервале $(-2,0)$.

Что я делаю неправильно?

Answer 1

Нельзя умножить на $x_1x_2$ поскольку вы не знаете, положительная это величина или отрицательная (помните, что знак неравенства должен поменяться местами, если он был отрицательным, и остаться прежним в противном случае).

Помните, что формулы Вите говорят вам, что $x_1+x_2 = m+3$ и это $x_1x_2 = m+2$. Вы можете использовать их, если упростите левую часть:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ поэтому вы хотите убедиться, что $m$ таково, что $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ Мы не можем размножаться на $m+2$поскольку мы не знаем его знака. Мы можем умножить на$(m+2)^2$, это, безусловно, неотрицательно. Это дает нам$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ что упрощает $$(m+2)(m+4)>0.$$ Произведение двух чисел равно $>0$ либо если они оба $>0$, или если они оба $<0$.

В первом случае (когда $m+2$ и $m+4$ оба положительны), мы имеем $m>-2$ и $m>-4$, что просто эквивалентно сказать $m>-2$.

Во втором случае (когда оба они отрицательны) имеем $m<-2$ и $m<-4$, что то же самое, что сказать, что $m<-4$.

Таким образом, ваше состояние эквивалентно тому, что $$\boxed{\text{$м <-4$ or $м> -2$}}.$$

Answer 2

В неравенствах обычно рекомендуется объединить дроби, если вы не уверены в их признаках. Примеры см. Здесь и здесь .

В настоящее время $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ И $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

Следовательно $-2<m<0$.