Правильно ли этот подход найти наибольшее открытое множество, на котором эта функция является аналитической?

Aug 17 2020

Этот вопрос был частью моего задания по комплексному анализу.

Найдите самый большой открытый набор, на котором $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ аналитический.

я написал $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ а затем вычисление $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Затем в$F(t+h)$ я получу $\mathrm{d}(t+h)$ который я положил равным $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Итак, я получаю$3$ интегралы.

Но есть путаница: предел $F(t)$ является $0$ к $1$ над $\mathrm{d}t$ но из-за $\mathrm{d}(t+h)$ внутри интеграла я получаю предел $\mathrm{d}h$ также равно $0$ к $1$ и тогда я поставлю предел $h \rightarrow0$.

После этого остаются только расчеты. Итак, мой подход правильный? Если нет, пожалуйста, скажите мне, в чем ошибка и какой подход будет правильным.

Спасибо!!

Ответы

1 Vercassivelaunos Aug 16 2020 at 23:56

Для параметрических интегралов можно использовать правило Лейбница: Если $D\subseteq\mathbb C$ открыт, $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ непрерывно, и $f_t(z):=f(t,z)$ аналитический на $D$ для всех $t\in[a,b]$, тогда

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

аналитический на $D$. В вашем конкретном примере$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, аналитическая на $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ для всех $t\in[0,1]$, поскольку $f_t$ аналитичен везде, кроме $z=-\frac{1}{t}$. Таким образом, рассматриваемый интеграл является аналитическим в указанной мною области и не определен вне этой области, поэтому эта область также является самой большой, в которой он является аналитическим.