Правильно ли этот подход найти наибольшее открытое множество, на котором эта функция является аналитической?
Этот вопрос был частью моего задания по комплексному анализу.
Найдите самый большой открытый набор, на котором $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ аналитический.
я написал $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ а затем вычисление $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Затем в$F(t+h)$ я получу $\mathrm{d}(t+h)$ который я положил равным $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Итак, я получаю$3$ интегралы.
Но есть путаница: предел $F(t)$ является $0$ к $1$ над $\mathrm{d}t$ но из-за $\mathrm{d}(t+h)$ внутри интеграла я получаю предел $\mathrm{d}h$ также равно $0$ к $1$ и тогда я поставлю предел $h \rightarrow0$.
После этого остаются только расчеты. Итак, мой подход правильный? Если нет, пожалуйста, скажите мне, в чем ошибка и какой подход будет правильным.
Спасибо!!
Ответы
Для параметрических интегралов можно использовать правило Лейбница: Если $D\subseteq\mathbb C$ открыт, $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ непрерывно, и $f_t(z):=f(t,z)$ аналитический на $D$ для всех $t\in[a,b]$, тогда
$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$
аналитический на $D$. В вашем конкретном примере$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, аналитическая на $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ для всех $t\in[0,1]$, поскольку $f_t$ аналитичен везде, кроме $z=-\frac{1}{t}$. Таким образом, рассматриваемый интеграл является аналитическим в указанной мною области и не определен вне этой области, поэтому эта область также является самой большой, в которой он является аналитическим.