Предел греха исчисления с двумя переменными [исчисление нескольких переменных]

Question

Как мне решить нижеследующий предел

$$\tag{1} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}?$$

Мой подход:

Я использовал полярные координаты $x = r \cos(\theta)$ а также $y = r \sin(\theta)$

так (1) => $$\tag{2} \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}.$$

А потом первое решение :

Я установил $w = r (\cos(\theta) + \sin(\theta)$ так когда $r\to 0 $ а также $w\to 0$

(2) $\Rightarrow \lim_{w\to 0} \frac{sin(w)}{w}= 1$.

Второе решение : правило L'Hospital:

\begin{align} (2) \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{(\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}{(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}& = \lim_{r\to 0} \frac{\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))*(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\\ & = \lim_{r\to 0} {\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))} = \cos(0) = 1. \end{align}

Мои подходы верны? Если нет, можете ли вы предложить правильное решение?

Answer 1

Вы можете использовать это $z(x,y)=x+y$ а также $f(t)=\frac{\sin t}{t}$ являются непрерывными функциями, и их суперпозиция также непрерывна.

Рудин В. - Принципы математического анализа - (1976) стр. 86. Теорема 4.7.

Предполагать $X,Y,Z$ метрические пространства, $E \subset X$, $f$ карты $E$ в $Y$, $g$ отображает диапазон $f,f(E)$, в $Z$, а также $h$ отображение $E$ в $Z$ определяется $h(x)=g(f(x)), x \in E$. Если$f$ непрерывна в точке $p \in E$ а также $g$ непрерывна в точке $f(p)$, тогда $h$ непрерывно на $p$.

Answer 2

Начнем с определения многомерных пределов: сказать $\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=L$ эквивалентно$$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall(x,\,y)\left(0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-L\right|<\epsilon\right).$$Мы можем доказать это для $L=1$ с использованием$$\forall\epsilon>0\exists\delta^\prime>0\forall(x,\,y)\left(0<|x+y|<\delta^\prime\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\epsilon\right).$$Нам просто нужно выбрать $\delta$ с точки зрения $\delta^\prime$ так $\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to|x+y|<\delta^\prime$. Достаточно взять$\delta=\delta^\prime/2$(доказательство - это упражнение); на самом деле достаточно взять$\delta=\delta^\prime/\sqrt{2}$ (Доказательство - немного сложнее).