предел $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$
Вопрос: Предел$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$
Первое, что я замечаю: $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ и предел выглядит как-то вроде $(1 + \frac{1}{x})^x$. К сожалению, я не могу применить эти идеи для определения ограничений. Я не уверен, что это правильно:
$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$
Применить правило l'hopital ...?
Может ли кто-нибудь подтвердить, что этот подход правильный, или, если он ошибается, предоставить правильный подход?
Ответы
поскольку $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ мы можем использовать это
$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$
а затем обратитесь к стандартным ограничениям.
Или как альтернатива, следуя вашей идее
$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$
а затем снова сделайте вывод о стандартных пределах.
$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$
$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$
Автор Тейлор $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$
редактировать
Рассматривать $x=\frac {11}{24}\pi$ (это довольно далеко от $\infty$), для которого арктангенс равен $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$.
точное значение $1.97993$ в то время как это усеченное выражение дает $1.99516$.
Фактически относительная погрешность меньше, чем $0.01$% если $x\geq3$