Пример функции с любопытным свойством

Question

Обозначим через $L^1(0,1)$ пространство интегрируемых по Лебегу функций на интервале $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Есть ли функция $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ такой, что:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Я предполагаю, что ответ положительный, и дело в том, чтобы построить $F$ такой, что $F$ и $F'$вести себя подходящим образом около нуля. Это кажется довольно деликатным. Я проверил это$F$ не может быть полиномом или степенной функцией (с тех пор $F'\simeq \frac{F}x$, поэтому условия 2 и 3 не могут выполняться одновременно).

Буду признателен за любые подсказки!

Answer 1

Нет такой функции. Прежде всего,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ когда $a,b\to 0$. Так$F$ имеет предел $c$ в точке 0. Если $c\ne 0$, то 1) не работает. Так$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Следующий, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ В настоящее время $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Рассмотрим два случая:

1. $F$ имеет фиксированный знак около 0. Затем, выбирая $a,b$ близких к 0, из (1) и (2) заключаем, что $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ сходится в 0, но это равносильно сходимости $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ который нам нужен.

2. $F$ имеет бесконечно много нулей в любой окрестности нуля. Тогда выбирая $(a_k,b_k)$ являются максимальными по включению интервалами открытого множества $\{x:F(x)\ne 0\}$ и применяя (2) для $a=a_k,b=b_k$ мы связали $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ через $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Вот$c=b_1$, например.