Проблема с факторингом $x^4-x^3+x^2-x+1$
Я хочу вычислить следующий интеграл, используя частичную дробь: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Итак, я раскладываю знаменатель:
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
Для следующего шага я поискал в Интернете и выяснил, что мне нужно разложить$x^4-x^3+x^2-x+1$ как это:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
А потом $a,b$ можно легко найти.
Мой вопрос: почему коэффициенты $x^2,x^0$ находятся $1$?
Потому что я могу переписать:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
И единственное, что я вижу с первого взгляда, это $ad=1,cf=1$ и я понятия не имею, почему $a=d=c=f=1$
Вы можете увидеть его ответ ниже:
Ответы
В общем, два многочлена даются до умножения константы (вы можете умножить один на $k$ и другие $1/k$), поэтому вы можете расположить его так, чтобы $a=d=1$гарантировано. Например$x^2+4x+4$ можно разложить на множители как $(x+2)(x+2)$ но также как $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Таким образом, мы можем исправить один из коэффициентов, чтобы ответ был уникальным. Однако если вы сделаете это, у вас не будет выбора для других, поэтому правильное начало здесь будет примерно таким: $$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
Конечно, вы можете выполнить некоторые вычисления, чтобы получить больше информации о постоянных коэффициентах, но не раньше.
Также следующий слегка измененный пример показывает, что если принять как ведущие, так и постоянные коэффициенты, $1$ с самого начала неправильно:
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
Однако, как указано в другом связанном вопросе, в этом случае, вероятно, использовалось (но не объяснялось), что многочлен является палиндромным (самовзаимным), что означает, что его корни попадают в пары $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (это результат $x^4f(1/x)=f(x)$). Это позволяет вам рассчитывать факторы в форме$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ или более общий $x^2-ax+1$.
Предположим, у вас есть монический (например, старший коэффициент 1) многочлен 4-й степени $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ что вы разложите на два полинома 2-й степени:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
Затем вы можете разделить каждый коэффициент первого многочлена на $e$ и умножим каждый коэффициент второго многочлена на $e$. Это производит: $(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
Однако, поскольку произведение этих двух многочленов равно
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
то$h \times e$ must = 1. $
Следовательно, монический многочлен 4-й степени был разложен на два монических многочлена 2-й степени. Как указывали другие, при этом факторизации только потому, что коэффициент $ x ^ 0 $ в полиноме 4-й степени равен 1, не означает, что каждый из коэффициентов $ x ^ 0 $ в двух полиномах 2-й степени должен быть одним. Все, что вы можете сказать наверняка, это то, что произведение двух коэффициентов $ x ^ 0 $ в двух полиномах 2-й степени должно быть равно 1.
Если я правильно понимаю, так получилось, что когда монический многочлен 4-й степени, указанный в исходном запросе, разлагается на два монических коэффициента 2-й степени, для этого конкретного коэффициента 4-й степени получающиеся монические многочлены 2-й степени имеют свои $ x ^ 0 $ коэффициентов каждый = 1.
Дополнение с упором на исходный полином 4-й степени ОП
Прежде всего, рассмотрим многочлен 4-й степени, который равен
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]). $
Это простой контрпример , произведение которого будет иметь вид
$ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
Изменить Ну, это смущает:
Я только что понял, что мой контрпример выше ошибочен . То есть, когда $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ объединяется в монический многочлен 4-й степени, вполне могут быть альтернативные способы факторизации этой 4-й степени. многочлен, который соответствует шаблону, который был первоначально предложен OP.
В любом случае, в оставшейся части этого дополнения ограничения рассматриваются так же, как и в https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients ссылка, которую кто-то уже прокомментировал.
Весь этот анализ вызывает вопрос, почему, по-видимому, было предложение разложить
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ на
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ раз (x ^ 2 - bx + 1). $
Я предполагаю, что на самом деле происходит то, что было высказано предположение, что $ f (x) $ может быть так учтена.
Следовательно, студента просят исследовать гипотезу и посмотреть, правда ли она. Исследование приводит к следующим ограничениям на $ a $ и $ b $ :
(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $
Обратите внимание, что у вас есть три ограничения на две переменные $ a $ и $ b. $
Однако, поскольку ограничения (1) и (3) идентичны, вы получаете только два ограничения.
Даже если бы оба ограничения (1) и (2) были линейными, это все равно (в общем случае) не гарантировало бы решения [например, r + s = 6. 2r + 2s = 11].
В данном случае ограничение (2) нелинейно, что делает его еще более ненадежным. Примечание. Я здесь на тонком льду, я никогда не изучал эффект объединения 1 линейного ограничения с 1 нелинейным ограничением.
Однако , исследуя, как предполагалось, предположительно можно найти удовлетворяющие значения $ a $ и $ b $ . Взглянув на $ f (x), обратите внимание, что ограничение (3) идентично ограничению (1) именно потому, что в $ f (x) $ коэффициенты $ x ^ 3 $ и $ x ^ 1 $ идентичны.
Следовательно, можно утверждать, что предложенная гипотеза была хорошо мотивирована.