Проблема с определением спинора
Я пытаюсь построить простое понимание того, что такое спинор, при этом я наткнулся на два разных определения спинора:
Первое определение:
если$|\psi\rangle$ общее состояние спина $1/2$ частицу, то ее можно разложить следующим образом:
$$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$
где $|+\rangle,|-\rangle$ - собственные состояния третьей компоненты спина ($S_z$), а также $c_+,c_-$- комплексные числа. Мы также можем записать это как:
$$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$
и в этой форме обычно мы предпочитаем писать $u$ на месте $|\psi\rangle$. Этот двумерный вектор, представляющий состояние частицы, называется спинором .
Второе определение:
дана частица спина$1/2$ мы можем записать его волновую функцию (почему-то) следующим образом:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$волновые частиц , написанные таким образом, называются спинорным .
Я ищу мост между этими двумя определениями, а также способ убрать уродливое «по какой-то причине» из второго утверждения. По поводу этого: в моих конспектах лекций присутствует следующее: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ этот шаг хорош, так как это просто приложение оператора идентификации, но тогда: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ но в любом случае, если мы примем (1) как должное, то получим:
$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$
поскольку $u_{s_z}$ действительно является двумерным вектором, который является собственным состоянием оператора спина.
Но у меня огромная проблема с уравнением (1): я не понимаю, как мы можем доказать, что левая часть равна правой части. Почему там$Y(\theta , \phi)$? (где$Y$ конечно же, сферические гармоники, поэтому собственные функции углового момента) Что такое $c^{s_z}_{l,m}(r)$ и почему это $r$зависимый? Почему это появляется$u_{s_z}$?
Ответы
1-е уравнение: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ является общей формой для любого чистого состояния в двухуровневой системе. Пространство всех нормированных пар ($c_+$, $c_-$) называются сферой Блоха.
Поскольку он применим к любой двухуровневой системе, он не особо хорошо проясняет физическую природу спинора. Фактически, во многих сценариях обучения это может привести к путанице. Это из-за терминов «раскрутка вверх» и «спад». Это приводит непосвященных к мысли, что вращение либо совмещено, либо не совпадает с величиной.$\frac 1 2$ (в единицах $\hbar$), это не тот случай.
Частица со спином 1/2 имеет угловой момент
$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$
а собственные состояния позволяют знать только проекцию на единственную ось, которая $\frac 1 2$. Это означает, что в$S_z$ eigenstate еще есть:
$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$
единиц углового момента, равномерно распределенного в $x-y$самолет. Этот факт вместе с соотношениями коммутации:
$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$
а способность квантовать спин по любой оси имеет решающее значение для понимания спиноров.
Короче говоря, вы можете записать коэффициенты как:
$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$
и, в то время как любая пара ($\theta,\phi$) представляет собой суперпозицию в исходном базисе, это чистое состояние вращения вверх при квантовании вдоль оси, указывающей в ($\theta, \phi$) направление.
Это спиновая часть волновой функции. Если вы запишете спин-волновую функцию в виде вектора-столбца (ваши 2-е уравнения) и объедините его с факторизованной пространственной волновой функцией, вы получите: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ Это представляет собой частицу с пространственной волновой функцией и незапутанным спином. В наиболее общем случае компоненты пространства и вращения могут быть запутаны, и для этого требуются ваши 3-е уравнения:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
Это необходимо для таких систем, как эксперимент Штерна-Герлаха.
Если мы посмотрим только на одну пространственную составляющую волновой функции, например, $\psi_+(\vec x)$, здесь он записан как функция вектора, $\vec x$. Это можно сделать в декартовых координатах:
$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$
другие координаты, или, что обычно наиболее полезно при сохранении углового момента: сферические координаты. В этом случае угловая часть фиксируется в сферических гармониках в соответствии со стандартной проекцией в вашем 5-м уравнении:
$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$
из этого уравнения мы видим, что орбитальный угловой момент ($(l,m)$) связаны с каждым спиновым состоянием (в соответствии с обычными правилами сложения углового момента). Обратите внимание, что собственные состояния квантовых чисел полного углового момента ($J^2, J_z$) смешивать разные $(l, m)$ со вращением вверх и вниз, как захвачено $c^{\pm}_{lm}$. Это стандартный материал Клебша-Гордана, например:
$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$
Таким образом, это представляет запутанность спиновых и угловых координат, так что квантовые числа полного углового момента являются хорошими.
Когда кто-то видит это, скажем, в атоме водорода, радиальная волновая функция полностью исключается. Ваше окончательное уравнение, однако, допускает радиальную зависимость в$c^{\pm}_{lm}(r)$. Это вводит пространственную запутанность между спином и пространственной координатой в радиальном направлении. (Я не могу придумать систему, где это возникает ... поскольку, если вы используете сферические гармоники, проблема должна быть разделена в сферических координатах). Тем не менее, это является наиболее общим спинорная волновая функция в сферических координатах.
Приложение: Обратите внимание, что $\theta$ а также $\phi$ зависимость от правой части (1) напрямую связана с $\vec x$на LHS. Вот я собираюсь$\vec r$ для трехмерного вектора положения, как $\vec x$ вызовет недоумение:
В декартовых координатах $(x, y, z)$ и декартово основание:
$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$
что в сферических координатах $(r, \theta, \phi)$ и декартово основание:
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$
Теперь мы можем переключиться с декартовых базисных векторов на сферические базисные векторы (сферические базисные векторы - это 3 собственных вектора вращения вокруг оси z, они не являются базисными векторами сферических координат ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$, и их понимание очень полезно для понимания спиновых, тензорных операторов и т. д.):
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
которые можно переставить:
$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
обратите внимание, что угловые коэффициенты являются $l=1$ сферические гармоники:
$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$
К этой формуле может потребоваться некоторое время, чтобы привыкнуть. В сферическом базисе сферические гармоники являются координатами. Странно, как функция может быть координатой? Ну посмотри на$Y_1^0(\theta,\phi)$. На единичной сфере, то есть $z$. Что ж$z$ является функцией (это многочлен), и поэтому $x$ а также $y$. Итак, мы используем полиномиальные коэффициенты в прямом декартовом представлении, мы просто обычно не думаем о них как о таковых, мы думаем о них как о числах с метками.