Производная отображения по времени $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - бесконечно малый генератор

Question

Кто-нибудь может объяснить уравнение $1$ в этом https://math.stackexchange.com/a/697412/767953в более простой форме? Также я не могу понять, как из уравнения$1$ мы это видим $u$ является решением уравнения теплопроводности.

Answer 1

Подсказка

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Я позволю вам оправдать каждое равенство как домашнее задание. Что касается вашего другого вопроса, можно доказать, что бесконечно малый генератор броуновского движения, если он задан формулой$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Сделайте это как домашнее задание, если вам это непонятно.