Проверить сходимость ряда $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Question

Я хочу проверить, сходятся ли следующие серии или нет.

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Я полагаю, нам нужно найти здесь верхнюю границу и затем применить сравнительный тест. Но я понятия не имею, какую границу мы могли бы взять. Не могли бы вы мне намекнуть?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}$

У нас есть термин, который является продуктом формы $\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}$. Чтобы применить сравнительный тест, нам нужно найти верхнюю границу. Считает ли это, что$1-\frac{1}{2i}\leq \frac{1}{2}$ и так $$\prod_{i=1}^n\left (1-\frac{1}{2i}\right )\leq \prod_{i=1}^n \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$ Затем, взяв сумму, получаем $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=1$$ Таким образом, из сравнительного теста также должна сходиться исходная сумма.

Все правильно?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n\cdot (2n+2)}}$

У нас есть термин, который является продуктом формы $\frac{2i-1}{2i+2}$. Какую верхнюю границу мы могли бы использовать в этом случае?

Answer 1

Некоторые подсказки:

Сначала мы можем использовать тест Раабе$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = \frac{n}{2(n+1)}$$

На второй $$\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{2} \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2n}}\quad (1)$$

Доказательство:

Для $n=1$ у нас есть $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} $, так что давайте предположим $n \geqslant 2$. У нас есть$$\frac{3}{4}>\frac{2}{3}, \frac{5}{6}>\frac{4}{5},\frac{7}{8}>\frac{6}{7}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}>\frac{2n-2}{2n-1}$$ умножение этого неравенства дает $$\frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{2}{3} \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}$$ Теперь, если мы умножим левую и правую части на левую часть, мы получим $$\left( \frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \right)^2 > \frac{1}{n} $$ Это левая часть (1).

Answer 2

Приближение Стирлинга подразумевает $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}$, так $\frac{n!^24^n}{(2n+1)!}\sim\frac{\sqrt{\pi}/2}{\sqrt{n}}$, поэтому ряд расходится.