Пусть коснется вписанного круга $AB$ и $AC$ в $F$ и $E$. Позволять $C \cap FE=L$ и $BI \cap EF= N$. Покажи это $B,L,N,C$ циклический.

Question

Позволять $ABC$ быть треугольником с I в центре и позволить вписанной окружности касаться $AB$ и $AC$ в $F$ и $E$. Позволять$C\cap FE=L$ и $BI\cap EF= N$. Покажи это$B,L,N,C$ циклический.

Сейчас у меня нет значительного прогресса, но вот мои наблюдения:

• $BLNC$ циклический, лежит на окружности диаметром $ BC$
• $FLIB$ и $NIEC$ тоже цикличны.

Я думаю, что этот вопрос легко ответить, но я хочу получить синтетическое доказательство.

Заранее спасибо !

Answer 1

Запрос. $\angle BLI=90$

Доказательство претензии. Достаточно показать$BFLI$ циклический, где $D=\odot(I)\cap BC$. Для этого обратите внимание, что$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$Таким образом, $BFLI$циклический. Это завершает доказательство утверждения.

Аналогично получаем, $\angle BLC=90=\angle BNC$ так $BLNC$ цикличен с $BC$ как диаметр.

Answer 2

Зная, как доказать это $FLIB$ и $NIEC$ цикличны, вы более чем наполовину решили это.

Вам нужно доказать $\angle LBN=\angle LCN$ (тогда $BLNC$циклический).
Но$\angle LBI=\angle LFI$ поскольку $BFLI$циклично,
аналогично$\angle ICN=\angle IEN$ поскольку $NIEC$ циклический.

Итак, вам нужно доказать $\angle IFE=\angle IEF$ но это правда, так как $\triangle IEF$ равнобедренный - $IF=IE$ внутренние радиусы.