Путаница в обозначениях относительно упражнений из учебников («Дифференциальная геометрия» Лоринга Ту)

Question

Примечание: пожалуйста, не решайте это упражнение за меня, я бы очень хотел сделать его сам.
Ниже приводится упражнение 27.5 из «Дифференциальной геометрии» Лоринга Ту.

Позволять $\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$ данный $\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$ быть тривиализацией $\pi^{-1}U_{g\color{red}{a}}$ в основной связке $P$. Позволять$A\in\mathfrak{g}$ и $\bar{A}$ фундаментальное векторное поле на $P$что это вызывает. Докажи это$dg_\alpha(\bar{A}_p)=dl_{g_\alpha(p)}(A)$.

У меня есть несколько вопросов об этом упражнении. Во-первых,$a$ красным - предположительно опечатка, потому что $a$больше нигде не упоминается. Я предполагаю, что это должно быть$\alpha$, но тогда какой $g$там делаешь? Второй вопрос касается самого дифференциала. Мне непонятно, куда идет это отображение. Я думаю, что целевое пространство$T_{g_\alpha(p)}G$, но тогда откуда это отображается?

Answer 1

Это вики-решение сообщества предназначено для удаления вопроса из очереди без ответа.

Вопрос 1: Это $\pi^{-1}U_\alpha$. См. Комментарий Теда Шифрина.

Вопрос 2: у вас есть $\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$ данный $\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$. Таким образом$g_\alpha : \pi^{-1}U_\alpha\to G$ и $d_pg_\alpha : T_p \pi^{-1}U_\alpha \to T_{g_\alpha(p)}G$. См. Комментарий А. Беллмунта.