Путаница в определении (в теории ΨDO) пространств Соболева на открытых множествах в евклидовом пространстве
Я читаю « Псевдодифференциальные операторы » М. Е. Тейлора, где автор говорит о$H^s(\Omega)$ для $s\in\mathbb{R}$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$открытое множество (например, в формулировке неравенства Гординга) без его определения. В самом деле, он определил такие соболевские пространства только для$\mathbb{R}^n$и компактные многообразия. В обоих этих случаях есть$s$псевдодифференциальный оператор порядка $\Lambda^s$ (с главным символом $\langle\xi\rangle^s$), который индуцирует изоморфизм $H^s\to L^2$. Это можно было бы принять за определение$H^s$. Однако я не знаю, как сделать то же самое для общих открытых множеств в евклидовом пространстве. Некоторые мысли:
- На стр.51 автор отмечает, что это делается путем изменения $\Lambda$так что он должным образом поддерживается. Однако я не уверен, что он имел в виду под этим.
- Возможно, можно было бы использовать функциональное исчисление на стандартном лапласиане $\Delta$. У этого подхода есть несколько проблем: (а) Мне понадобится$\Delta^{s/2}$ быть определенным в пространстве распределений (так, чтобы определение было похоже: распределение $u$ принадлежит $H^s$ если $\Delta^{s/2}u\in L^2$), но функциональное исчисление определяет его только на подпространстве $L^2$. (б) Есть$\Delta^{s/2}$ неужели псевдодифференциальный оператор с правильным символом?
Итак, каково правильное определение в этом контексте? Любая помощь будет оценена по достоинству!
Ответы
- Типичные определения пространств Соболева
Для общего открытого подмножества $\Omega$ (без предположений регулярности на его границе) соболевские пространства $H^s(\Omega)$ сначала определены для $s\in \mathbb{N}$ (очевидным образом: производные до порядка $s$ должен быть в $L^2$) и для общего $s\in \mathbb{R}$ через интерполяцию / двойственность.
Однако если $\partial \Omega$ достаточно регулярна, есть более простой способ: для простоты предположим, что $\partial \Omega \in C^\infty$, то обычно определяют $H^s(\Omega)$ как пространство распределений на $\Omega$ которые допускают расширение $\mathbb{R}^d$ что лежит в $H^s(\Omega)$. Эквивалентно$H^s(\Omega)=rH^s(\mathbb{R}^d)\subset\mathcal{D}'(\Omega)$, где $r:\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathcal{D}'(\Omega)$- оператор ограничения. Это дает те же пробелы, что и в первом абзаце.
В качестве справочника по этим вопросам я могу порекомендовать книгу Тейлора PDE, в которой есть целая глава о различных определениях пространств Соболева. (Также для$\mathbb{R}^d$ заменяется закрытым коллектором).
- Эллиптические весы
Теперь по поводу комментария к правильно поддерживаемой $\psi$делать $\Lambda^s$ вы можете рассмотреть лемму 7.1 из шубинского $\psi$делать книгу. Действительно, это означает, что на произвольном многообразии$X$ (в частности, вы можете взять $X=\Omega$) что существует шкала правильно поддерживаемых операторов $\Lambda^s\in \Psi^s_{\mathrm{cl}}(X)$(индекс, обозначающий классичность) с положительными главными символами. Затем Шубин определяет локальные соболевские пространства формулой$H^s_\mathrm{loc}(X)=\{u\in \mathcal{D}'(X): \Lambda^su\in L^2_{\mathrm{loc}}(X)\}$ и доказывает, что это эквивалентно некоторым другим определениям.
Дело в том, что для общего (некомпактного) многообразия это настолько хорошо, насколько это возможно: нет понятия $H^s(X)$без указания поведения его функций на бесконечности. Если$X$ оказывается открытым подмножеством $\mathbb{R}^d$ или замкнутом многообразии, поведение на бесконечности (или, скорее, на границе) задается требованием, чтобы функции могли быть расширены на $\partial X$ и мы находимся в настройке первых нескольких абзацев.
Что если $X$ имеет риманову метрику $g$? Полагаю, что в этом случае можно было бы определить$H^s(X,g)$ для $s\in \mathbb{N}$ требуя, чтобы его функции удовлетворяли $X_1\dots X_k f \in L^2(M,g)$ для любых векторных полей $X_1,\dots,X_k$ $(0\le k \le s)$ которые удовлетворяют $\vert X_i \vert_g\in L^\infty(X)$. Для нецелых$s$ затем через интерполяцию \ двойственность.
Если $(X,g)$ оказывается полным (например, $\mathbb{R}^d$), то Гаффни показал, что лапласиан $1+\Delta_g$ имеет уникальную самосопряженную реализацию в $L^2(X,g)$ и я полагаю, можно было бы назвать его домен $\tilde H^2(X,g)$. То же самое верно и для его возможностей, и поэтому мы можем определить$\tilde H^s(X,g)$ для $s\in 2\mathbb{N}$ и распространить на общие $s$по интерполяции / двойственности. Не удивлюсь (но не проверял), если действительно$H^s(X,g)=\tilde H^s(X,g)$ в этом случае.
- Сложные полномочия
Вас интересовало, можно ли определить пространства Соболева на $\Omega$через степени лапласиана. Имеет смысл брать полномочия$P=1+\Delta$ (по аналогии с $\mathbb{R}^d$) и действительно есть хорошая теория, которая говорит вам, что это возможно, по крайней мере, если вы находитесь на замкнутом многообразии. Итак, предположим, что$\Omega$ живет внутри замкнутого риманова многообразия $(M,g)$ (и $\partial \Omega \in C^\infty)$, тогда $P^z$ определено для всех $z\in \mathbb{C}$ и является классическим $\psi$делать по порядку $\mathrm{Re}(z)$с очевидными алгебраическими свойствами. (Это связано с Сили, но вы можете найти хорошее описание этого в книге Шубина).
Теперь вы можете определить $H^s(\Omega)=\{f:P^s f\in L^2(\Omega,g)\}$ и по крайней мере для $s\in \mathbb{N}$ это дает то же самое, что определено в начале, т.е. $H^s(\Omega) = r H^s(M)$. Достаточным критерием совпадения двух пространств является то, что$P^s$удовлетворяет так называемому условию передачи при$\partial \Omega$: Это определение 18.2.13 в Hörmander, в котором говорится, что $rP^se_0(C^\infty(\bar \Omega)) \subset C^\infty(\bar \Omega)$, где $e_0$обозначает расширение нулем. Теперь для положительных целых чисел-степеней$P^s$является дифференциальным оператором и, очевидно, удовлетворяет условию. Для нецелочисленных степеней это может потерпеть неудачу, как упоминается в начале страницы 184 здесь . Это все, что я могу сказать на данный момент.