Путать с размерами и вложениями
Я новичок в топологии и заранее прошу прощения за этот, пожалуй, очень простой (или философский) вопрос.
Я всегда думал о тор как о поверхности в форме пончика в $\mathbb{R}^3$. Однако после того, как я начал изучать топологию, я обнаружил, что тор$S^1 \times S^1$ и это естественно определяется в $\mathbb{R}^4$. Но в то же время, как я понял, популярное трехмерное представление тора - это вложение в$\mathbb{R}^3$, поэтому по определению вложения естественный 4-мерный тор гомеоморфен легко визуализируемому 3-мерному тору.
Когда мы берем фактор квадрата (путем определения сторон) для построения тора, разве мы не обманываем себя, визуализируя это в $\mathbb{R}^3$, так как мы просто получаем некоторый «кусок» реального 4-мерного тора. Возможно, я ответил на свой вопрос здесь, заявив, что вложение - это гомеоморфизм, но я все же хочу понять, каковы связи между размерностью, вложением и гомеоморфизмом .
Тор двумерен, так как для его определения достаточно двух точек (по одной точке на каждую $S^1$), но каждый круг естественно представлен в $\mathbb{R}^2$, поэтому нам нужно $\mathbb{R}^4$.
Мы теряем «информацию», когда «проецируем» тор из $\mathbb{R}^4$ к $\mathbb{R}^3$? Это только потеря зрения или тоже топологическая?
Я могу представить себе 3-мячик $\mathbb{R^3}$ и "сжав" его в 2-шар (диск) в $\mathbb{R}^2$ по $z \to 0$. Во время этого перехода от$\mathbb{R}^3$ к $\mathbb{R}^2$ очевидно, что мы потеряли как визуальную, так и топологическую информацию (n-шар гомеоморфен m-мячу $\iff$ п = т).
Сохраняет ли гомеоморфизм «внутреннее» измерение, но не «заботится» о внешнем (внешнем) пространстве?
Ответы
Я действительно не рассматриваю "естественный" тор как $S^1 \times S^1$ сидя в $\mathbb{R}^4$. Есть несколько эквивалентных (читай: гомеоморфных) способов увидеть тор, один из которых - знакомая картина «бублика». Два других будут такими же$S^1 \times S^1$ сидя в $\mathbb{R}^4$, или как частное от квадрата, как вы указали.
Суть в том, что для математика тор - это самостоятельный объект . Существует ли окружающее евклидово пространство, в которое его можно встроить, в некотором смысле не имеет значения. Это просто набор точек вместе с набором «открытых подмножеств», которые определяют его форму.
Чтобы перейти к вашим вопросам: дано топологическое пространство (например, пространство $X$который является частным квадрата путем определения противоположных сторон, несущих фактор-топологию), мы можем попытаться визуализировать его, вложив в евклидово пространство. Вложение топологического пространства$X$ в евклидово пространство $\mathbb{R}^n$ это просто карта $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ такой, что $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ является гомеоморфизмом.
Итак, получается, что $X$ может быть встроен в $\mathbb{R}^3$, но и в $\mathbb{R}^4$. Думайте об этом как о «реализации»$X$в каком-то большом окружающем пространстве. Обе эти реализации гомеоморфны$X$(да, по определению того, что такое вложение), поэтому они также гомеоморфны друг другу. Таким образом, информация не теряется.
Неправильно думать о «бубликовой» картине тора как о спроектированной версии реализации в $\mathbb{R}^4$. Проекции не происходит (например, когда вы проецируете вертикальный цилиндр в 3D на круговой срез в горизонтальной плоскости). Пончик не является трехмерным срезом четырехмерной формы, это та же форма .
Вы правильно сказали, что размерность тора равна $2$. Это измерение также не зависит от окружающего пространства. Следовательно, гомеоморфизм сохраняет это измерение и не заботится о внешнем измерении. Здесь есть небольшая оговорка: довольно сложно определить, что означает «размерность» для топологического пространства, поэтому трудно доказать утверждение, что тор имеет размерность 2.