Радикал Джекобсона кольца многочленов

Question

Определение: Пусть$M$ быть $R$модуль. Тогда радикал Якобсона из$M$ обозначается $J_R(M)$ и определяется как пересечение всех максимальных подмодулей модуля $M$. Если$M$ не имеет максимального подмодуля, то $J_R(M)=M$.

Позволять $R$ коммутативное кольцо и $S=R[x]$- кольцо многочленов. Мы знаем, что радикал Якобсона из$S$ является $Nil(R)[x]$ когда $S$ принимается как $S$модуль. т.е.$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Мой вопрос: каким будет радикал Якобсона?$S$ когда $S$ принимается как $R$модуль? т.е.$J_R(S)=?$

Пожалуйста, помогите мне. Я буду Вам очень благодарен.

Answer 1

Сначала обратите внимание, что $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ в виде $R$-модуль. Более того, радикал Якобсона сохраняет прямые суммы, поэтому$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ это подмодуль многочленов с коэффициентами в $J_R(R)$.

---

Чтобы доказать, что радикал Джекобсона коммутирует с прямой суммой модулей, сначала заметим, что каждый $R$-модульный гомоморфизм $\varphi:M\to N$ карты $J_R(M)$ в $J_R(N)$. Применяя это к каноническим проекциям$\bigoplus_iM_i\to M_i$ дает $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Точно так же, учитывая канонические включения$M_i\to\bigoplus_iM_i$ получаем обратное включение $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.