Равномерная сходимость интеграла

Question

Пытаюсь понять это впервые. Я должен проверить, есть ли$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$одинаково конвергентно или нет. Я предполагаю, что это не сходится, если$\alpha \in ]0,\infty[$но я не уверен на 100%, доказал ли я это правильно, или как это доказать. Итак, что я сделал:

Предположим, он сходится равномерно. Тогда есть$p \in \mathbb{N}$ такой, что $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ не уверен, какое число поставить в "что-то" для противоречия.

И если это так, то функция $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$ограничено. я знаю это$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$не существует. Это противоречие? Почему это противоречит тому, что$f$ограничено? (если$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ У меня не было бы никаких сомнений, но это не так - лимита просто нет, поэтому я не знаю, как его оправдать).

Надеюсь, я прояснил свои сомнения. Спасибо!

Answer 1

Интеграл сходится равномерно при $\alpha \in [a,\infty)$ где $a > 0$ по М-тесту Вейерштрасса, но не по $(0,\infty)$.

Для первого интеграла с $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ у нас есть

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

Так как RHS не сходится к $0$ в виде $n \to \infty$, критерий Коши равномерной сходимости нарушается.