Равномерная сходимость последовательности почти всюду нулевых функций

Question

Позволять $B([a , b])$ - пространство ограниченных и измеримых функций из замкнутого ограниченного интервала $[a , b]$ в $\mathbb R$наделен нормой sup. Я знаю, что это банахово пространство.

Теперь рассмотрим следующее векторное подпространство $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

Как показать это $L_{0}$ является замкнутым подпространством в $B([a , b])$.

Моя попытка следующая:

Позволять $f \in B([a , b])$ быть предельной точкой $L_{0}$. Тогда есть последовательность$( f_{n} )$ в $L_{0}$ такой, что $f_{n} → f$ равномерно и, следовательно, $f_{n} (x) = f (x)$ для всех $x \in [a , b]$. Теперь, когда$f_{n} = 0$ ае для всех $n\in\mathbb N$ и поскольку счетное пересечение подмножеств полной меры является подмножеством полной меры, то $f = 0$ae Любое исправление, если я ошибаюсь, приветствуется. Спасибо за любую помощь.

Answer 1

Позволять $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ последовательность $L_0$ который сходится к функции $f$. В частности,$f_n(x)\to f(x)$ ae и таким образом $f=0$ ae Следовательно, $L_0$ последовательно закрывается и, таким образом, закрывается.