Разложение Лорана квадратного корня

Aug 17 2020

У меня есть две следующие проблемы:

(а) Докажите, что $(z^2 - 1)^{-1}$ имеет аналитический квадратный корень из $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Найдите разложение Лорана аналитического квадратного корня из части (a) в области $\{a: |z| > 1 \}$, с центром в $z = 0$.

Относительно части (а) отмечу, что преобразование Мебиуса $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ отображает $\mathbb{C} - [-1,1]$ на $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. поскольку$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ просто связано и $F$ отличен от нуля на $\mathbb{C} - [-1,1]$, мы можем определить однозначную аналитическую ветвь $\sqrt{F(z)}$ на $\mathbb{C} - [-1,1]$. Затем быстрым вычислением

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

аналитический квадратный корень из $(z^2 - 1)^{-1}$ в $\mathbb{C} - [-1,1]$.

Однако я не знаю, как действовать в части (б). Любая помощь будет оценена.

Ответы

Matematleta Aug 17 2020 at 09:24

По частям $(a)$ потому как $|z|>1$, если $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ мы можем использовать главную ветвь логарифма и выбрать $\sqrt {w^2}=w.$ Затем с $Z=1/z^2$ и отмечая, что биномиальная теорема верна для $|z|>1,$ мы вычисляем

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

Если $\theta$ лежит на отрицательной действительной оси, затем выберите соответствующий разрез ветви и повторите вышеупомянутый расчет для $0<\theta<2\pi$.

Я также думаю, что мы можем получить $(a)$элементарными средствами. По определению

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Эта функция имеет точки ветвления в$1$ и $-1$ но нет $\infty$ так что мы можем реализовать диаграмму

установка $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ и $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ и $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

и доказать аналитичность прямым расчетом, сводится к рассмотрению кейсов.