Размерная регуляризация собственной энергии электрона из книги Райдера

Question

Я изучаю собственную энергию электрона, используя учебник Райдера. На странице 334 мы видим

Определение $k'=k-pz$ и избегая члена, линейного по $k'$(поскольку он интегрируется до нуля) дает \ begin {Equation} \ Sigma (p) = - ie ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p - {\ not} p z + m) \ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1 -z)] ^ 2}. \ label {r2.7} \ end {Equation} [...] Этот интеграл вычисляется с помощью уравнения (9A.5), что дает \ begin {уравнение} \ Sigma (p ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2}. \ end {уравнение}

Уравнение 9A.5: \ begin { Equation } \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ alpha}} = (- 1) ^ {d / 2} \ imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {1} {[- q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d / 2}}. \ Tag {9A.5} \ end {формула} Я не понимаю, как он применил этот интеграл (9A.5) для получения результата \ begin {уравнение} \ Sigma (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2 }. \ end {Equation}, пожалуйста, помогите мне понять идею.

Answer 1

Просто нужно применить результат (9A.5) к интегралу в $d^d k^\prime$. На самом деле звонок$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ и положи $q=0$ в интеграле (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

где мы только что изменили переменную интегрирования с $k^\prime$ к $p$для большей ясности из результата 9A.5. Используя тот факт, что$\Gamma(2) = 1$, используя приведенное выше определение $M^2$ и немного упростив, вы получите $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ где мы использовали тот факт, что $2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

Сравните второе подынтегральное выражение в первом уравнении с большим числом в 9A5. Ты видишь это$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$превратит одно подынтегральное выражение в другое. Выполнение таких же замен в правой части 9A5 должно дать вам желаемый результат.