Разница между $\forall n\in\mathbb N$ и $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$

Dec 27 2020

Действительно смущен разницей между $\forall n\in\mathbb N$ и $\bigcap_{i=1}^\infty$.

В разделе «Понимание анализа» я цитирую упражнение 1.2.13. это

Заманчиво обратиться к индукции, чтобы заключить $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.

но индукция здесь не применяется. Индукция используется, чтобы доказать, что конкретное утверждение верно для каждого значения$n\in\mathbb N$, но это не означает справедливости бесконечного случая.

Некоторое время я исследовал это и понял, что в конечном итоге тот факт, что я могу указать на $n\in\mathbb N$ Значит это $n$конечно. Следовательно, он не может применяться в бесконечном случае.

Да, я понимаю смысл. Но если$\forall n \in\mathbb N$ не работает, тогда что работает при доказательстве бесконечного случая?

Я чувствую себя комфортно из-за разницы. Путаница снова вызвана книгой, и я цитирую следующее в надежде сделать ее как можно короче:

Свойство вложенного интервала предполагает, что каждый $I_n$ содержит $I_{n+1}$. Они представляют собой вложенную последовательность закрытых интервалов, определенных как таковые.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.

Доказательство сосредоточено на поиске единственного действительного числа x, которое принадлежит всем $I_n$ и он утверждает, что это supA.

В доказательстве сказано $x\in I_n$, на любой выбор $n\in\mathbb N$. Следовательно,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ и перекресток не пустой.

Сообщите мне, если требуются пропущенные детали. Однако моя точка зрения такова:

  1. Почему в правиле бесконечного де Моргана $\forall n\in\mathbb N$ не относится к $\infty$
  2. Почему во вложенном свойстве интервала $\forall n\in\mathbb N$ относится к $\infty$

Ответы

2 BrianM.Scott Dec 27 2020 at 07:21

$\forall n\in\Bbb N$ никогда не относится к$\infty$, потому что $\infty$ не является элементом $\Bbb N$. Во вложенной теореме об интервале нет $I_\infty$. Мы знаем, что$x\in I_n$ для каждого $n\in\Bbb N$, а значит, по определению $n$ находится на пересечении множеств $I_n$. Вы могли бы назвать это перекресток$I_\infty$ если бы вы хотели это сделать, но это был бы произвольный выбор, совершенно не зависящий от аргумента индукции, включающего множества $I_n$; Вы могли бы просто назвать его Джорджем. (Много лет назад мой друг опубликовал статью о математическом объекте, который назвал Джорджем.)

Что касается закона Де Моргана, его можно доказать для произвольных семейств множеств, просто показывая, что каждая сторона предложенного тождества является подмножеством другой. Это сделано для произвольных проиндексированных семейств наборов здесь и в этом ответе (и, возможно, в других местах на MSE). Доказательство не зависит от теоремы для конечных семейств множеств и не требует никакой индукции.

2 Adriano Dec 27 2020 at 07:14

Правило Де Моргана действительно работает для бесконечных множеств. Но это не может быть доказано индукцией по конечной версии правила Де Моргана, поскольку индукция - это инструмент для доказательства того, что утверждение верно для сколь угодно большого значения$n$ (но $n$ все еще конечно).

Что касается пересечения счетно бесконечного числа множеств, то это следует из определения. Мы говорим что$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ если только $x \in I_n$ для всех $n \in \mathbb N$.