Решения для $615+2^x=y^2$ на целых числах

Question

Эта проблема очень похожа на популярную, но я нашел ее таким образом. Я думал, что это можно решить аналогичным образом. Это значит, что$x$ должно быть четным числом, и тогда оно выполняется $$615=y^2-2^{2k}=(y-2^k)(y+2^k)$$

возможная пара факторов $615$ находятся $\{(615,1), (123, 5), (3,205),(15,41)\}$. Тогда эта проблема обычно решается путем сложения двух факторов и определения значения для$2^k$. Однако на этот раз я попытался абстрагироваться от факторов, чтобы найти возможное значение$2^k$, но это означает, что у нас есть только 4 возможности для значения $2^k$: $\{614, 118, 2020, 26\}$. Которые не являются ценностями для$2^k$ с участием $k\in\Bbb{Z}$. Означает ли это, что у этого уравнения нет целочисленных решений? или, может быть, в моих рассуждениях что-то не так.

Заранее спасибо!

РЕДАКТИРОВАТЬ: я не предполагал, что $x$даже, я должен был подробнее остановиться на этом. Если$y^2$ является целым числом, тогда цифра на месте единиц должна быть одной из следующих: $\{1, 4, 5, 6, 9\}$. Степень двойки может содержать только следующие цифры на месте единиц:$\{2, 4, 6, 8\}$. Если$x$ нечетное число, тогда $2^x$ имеет либо $2$ или $8$ это, в свою очередь, означает, что $y^2=615+2^x$ имеет либо $7$ или же $3$на месте единиц, противоречие. Поэтому$x$ должно быть четное число.

Answer 1

Предположим $x \geq 2$. Уменьшите мод с обеих сторон 4, чтобы получить это$3 \equiv y^2$Противоречие, поскольку $0$ и $1$ являются единственными квадратами мод 4.

Тогда единственно возможный выбор: $x = 0$ и $x = 1$. Но ни то, ни другое$615 + 2^0$ ни $615 + 2^1$идеальный квадрат. Так что решений нет.

Answer 2

Подсказка :$615\not\equiv1$ мод $8$, поэтому мы должны иметь $x\lt3$.

Answer 3

Да, это доказывает $615+ 2^{x=2k} = y^2$ не имеет целочисленных решений, если $x$ даже.

Если $x$странно, что мы могли попробовать.

$615 + 2^{x=2k+1} = y^2$

$2^{2k+1} = y^2 - 615$ так $y$ странно пусть $y=2m+1$

$2^{2k+1} = 4m^2 + 4m -614$

$2^{2k} = 2m^2 +2m - 307$ что значит $2^{2k}$ странно так $2^{2k} =1$ и $k =0$

$2m^2 +2m = 308$

$m(m+1) = 154$

Но $154 = 2*7*11$ нельзя так разложить.

Так $615+2^x =y^2$ не имеет целочисленных решений, если $x$ тоже странно.

Но это довольно неэффективно, и я не советую этого.

(Это, однако, может дать нам подсказку относительно рассмотрения арифметических $\mod 4$ и ответ Доктора Кто в конечном итоге встанет на свои места.)