Решение нелинейных уравнений вида $\mathbf x = A f(\mathbf x)$
Позволять $A$ быть настоящим, обратимым $n\times n$матрица. Мне интересно найти векторы$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ которые решают следующее уравнение:
$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$
где $\tanh$применяется поэлементно. В более общем плане мы можем рассматривать другие виды нелинейностей вместо$\tanh$ (но всегда применяется поэлементно).
Есть ли общий подход к изучению решений этого типа уравнений? Вероятно, используя собственное разложение$A$?
Я добавил тег "ссылка-запрос" на случай, если кто-то может предложить соответствующие ссылки на литературу.
Ответы
В двумерном случае уравнение принимает вид $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$
и после устранения $y$, получаем одномерное нелинейное уравнение $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ Мы не видим особого упрощения или связи с собственными значениями.
Я видел числовые случаи с четырьмя различными положительными решениями.