Решить систему линейных неравенств с параметрами
Решите систему неравенств \ begin {cases} 0 \ leq \ phantom {-2 \;} x + 2 \, y-3 \, b + 3 \, a \ leq 2 \\ 0 \ leq -2 \, x -3 \, y + 6 \, b \ phantom {\; + 3a \; \,} \ leq 1 \\ [4pt] 0 \ leq x \ leq 1 \\ 0 \ leq y \ leq 2 \\ [4pt ] 0 \ leq a \ leq 1 \\ 0 \ leq b \ leq 1 \ tag {*} \ end {cases} Здесь$x,y$ неизвестные переменные и $a,b$ параметры.
Моя попытка. Добавив неравенства с некоторыми коэффициентами, я разделил переменные и получил простую систему \ begin {cases} 0 \ leq y + 6a \ leq 5, \\ 0 \ leq -x + 9a + 3b \ leq 8. \\ \ tag {**} \ end {cases}, и я могу это решить. Но решения последней системы не являются решением исходной системы!
Maple и wolframAlpha не могут решить систему.
Любая помощь?
PS1 Для $a=\frac{63}{100}$ и $b=\frac{59}{100}$ (как на изображении G Cab ниже) Maple дает решения \ begin {gather *} \ left \ {x = 1, {\ frac {9} {50}} \ leq y, y \ leq {\ frac {11} {25}} \ right \}, \ left \ { x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {9} {50}} <y, y <{\ frac {11} {25}} \ right \}, \ left \ {{\ frac {9} {50}} <y, x <1, y <{\ frac {11} {25}}, - 3/2 \, y + {\ frac {127} {100} } <x \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {11} {25}}, {\ frac {61} {100}} \ leq x, x <1 \ right \}, \ left \ {x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {11} {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \} , \ left \ {{\ frac {11} {25}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {127} {150}}, - 3/2 \, y + {\ frac {127} {100}} <x \ right \}, \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {11 } {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \}, \ left \ {x = 0, {\ frac {127} {150}} \ leq y, y \ leq {\ frac {47} {50}} \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {127} {150}}, x \ leq {\ frac {14} {75}}, 0 <x \ right \}, \ left \ {0 <x, {\ frac {127} {150}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {47 } {50}} \ right \}, \\ \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {127} {150}} <y, y <{ \ frac {47} {50}} \ right \} \ end {gather *}
PPS Мне интересно найти не весь набор решений, а найти хотя бы одно решение из области, если она существует, но в терминах $a$ и $b$, например, $x=(a+b)/2, y=(2a-b)/10$ это решение.
Ответы
Рассмотрим систему в виде \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \\ x, y \ in [ 0,1] \ tag1 \ end {case} по множеству возможных пар$(a,b)\in[0,1]^2.$
$$\color{blue}{\mathbf{Case\ 1.\quad a-b >\dfrac23.}}$$
Система $(1)$ не имеет решений.
$$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.\quad 0\le a \le \min\left[\frac{2+3b}3,1\right].}}\tag2$$
$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.1.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$
Первое уравнение системы в виде \ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.1} \ end {cases } над первым квадрантом определяет треугольник с вершиной$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$
Второе уравнение по первому квадранту определяет трапецию с вершиной
$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2),\quad(0, \frac{3b-3a}2).$
поскольку
$\ 0 \le 3b-3a\le 3b \le 2+3b-3a,$
$\ 0 \le \frac{3b-3a}2 \le 2b \le \frac{2+3b-3a}2,$
то решение - симплекс с вершиной $(3b-3a, 0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$
Аналитически, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.1}$$

Решение для $\quad a=\dfrac1{10},\quad b=\dfrac18.$
$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.2.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$
Первое уравнение системы в виде \ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.2} \ end {ases} над первый квадрант определяет треугольник с вершиной$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$
Второе уравнение по первому квадранту определяет треугольник с вершиной
$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$
поскольку
- равенство $2b = \frac{2+3b-3a}2$ имеет место, если $a=\frac{2-b}3,$
- равенство $3b = 2+3b-3a$ имеет место, если $a=\frac{2}3,$
тогда следует рассмотреть следующие случаи.
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.1.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$
Решение - треугольник с вершиной $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$
Аналитически, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.2.1}$$

Решение для $\quad a\in\bigg[\dfrac1{8},\dfrac58\bigg],\quad b=\dfrac18.$
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.2.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23\bigg].}}$$
Линии $2x+3y=6b$ и $x+2y = 2+3b-3a$ иметь пересечение в точке $(x_i,y_i) = (9a+3b-6, 4-6a).$
Решение - симплекс с вершиной $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (9a+3b-6, 4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$
Аналитически, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg).\tag{4.2.2}$$

Решение для $\quad a = \dfrac{9}{14},\quad b=\dfrac18.$
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.3.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$$
Решение - треугольник с вершиной $\quad (0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$
Аналитически, $$\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg).\tag{4.2.3}$$

Решение для $\quad a = \dfrac{17}{24},\quad b=\dfrac18.$
$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.3.\quad b\in \bigg[\dfrac16,\dfrac13\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$
Первое уравнение системы в виде \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.3} \ end {case} по первому квадранту определяет трапецию с вершиной$\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$
Второе уравнение по первому квадранту определяет трапецию с вершиной
$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac12(2+3b-3a)),\quad (0, \frac12(3b-3a)).$
поскольку
- равенство $\frac{6b-1}3 = \frac{3b-3a}2$ имеет место, если $a=\frac{2-3b}9,$
- равенство $\frac{6b-1}2 = 3b-3a$ имеет место, если $a=\frac16,$
тогда следует рассмотреть следующие случаи.
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-3b}9\bigg].}}$$
Решение - симплекс с вершиной
$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$
Аналитически, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.1}$$

Решение для $\quad a=\dfrac1{12},\quad b=\dfrac14.$
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-3b}9,\dfrac16\bigg].}}$$
Линии $2x+3y=6b-1$ и $x+2y = 3b-3a$ иметь пересечение в точке $(x_i,y_i) = (9a+3b-2,1-6a).$
Решение - симплекс с вершиной
$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{6b-1}3),\quad (9a+3b-2,1-6a).$
Аналитически, $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3, \frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg)}.\tag{4.3.2}$$

Решение для $\quad a=\dfrac3{19},\quad b=\dfrac14.$
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac16,b\bigg].}}$$
Решение - трапеция с вершиной
$(3b,0),\quad (3b-3a, 0),\quad (0, \frac{3b-3a}2),\quad (0,2b).$
Аналитически, $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.3}$$

Решение для $\quad a=\dfrac15,\quad b=\dfrac14.$
$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[b,b+\dfrac23\bigg].}}$
Первое уравнение системы в виде \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.4} \ end {cases }
над первым квадрантом определяет трапецию с вершиной $\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$
Второе уравнение по первому квадранту определяет треугольник с вершиной
$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$
поскольку
равенство $2b = \frac{2+3b-3a}2$ имеет место, если $a=\frac{2-b}3,$
равенство $3b = 2+3b-3a$ имеет место, если $a = \frac23,$
равенство $\frac{6b-1}3 = \frac{2+3b-3a}2$ имеет место, если $a=\frac{8-3b}9,$
равенство $\frac{6b-1}2 = 2+3b-3a$ имеет место, если $a=\frac56,$
тогда следует рассмотреть следующие случаи.
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$
Решение - трапеция из абзаца $2.3.3$ выше.
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23 \bigg].}}$$
Линии $2x+3y=6b$ и $x+2y = 2+3b-3a$ иметь пересечение в точке $(x_i,y_i) = (9a+3b-6,4-6a).$
Решение - симплекс с вершиной
$(\frac{6b-1}2,0),\quad (3b, 0),\quad (9a+3b-6,4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$
Аналитически, $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.2}$$

Решение для $\quad a=\dfrac58,\quad b=\dfrac14.$
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{8-3b}9 \bigg].}}$$
Решение - симплекс с вершиной
$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$
Аналитически, $${\small\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.3}$$

Решение для $\quad a=\dfrac34,\quad b=\dfrac14.$
$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{8-3b}9,\dfrac56 \bigg].}}$$
Линии $2x+3y=6b-1$ и $x+2y = 2+3b-3a$ иметь пересечение в точке $(x_i,y_i) = (9a+3b-8,5-6a).$
Решение - треугольник с вершиной
$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (9a+3b-8,5-6a).$
Аналитически, $${\small (x\in[9a+3b-8,2+3b-3a])\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.4}$$

Решение для $\quad a=\dfrac{14}{17},\quad b=\dfrac14.$
Когда у вас есть система (двойных) неравенств, подобная этой $$ \left\{ \matrix{ a \le x \le b \hfill \cr c \le x \le d \hfill \cr} \right. $$ вы можете подумать, что каждый из них представляет собой сегмент на $x$ оси, с системой, обозначающей AND, т.е. $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ x \in \left[ {a,b} \right] \hfill \cr x \in \left[ {c,d} \right] \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad x \in \left( {\left[ {a,b} \right] \cap \left[ {c,d} \right]} \right)\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad x \in \left[ {\max (a,c),\min \left( {b,d} \right)} \right] \cr} $$
Поэтому в вашем случае мы можем сделать некоторые манипуляции следующим образом $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le x + 2y + 3a - 3b \le 2 \hfill \cr 0 \le - 2x - 3y + 6b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3\left( {b - a} \right) \le x + 2y \le 3\left( {b - a} \right) + 2 \hfill \cr 6b - 1 \le 2x + 3y \le 6b \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 3\left( {b - a} \right) \le x \le 3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y \hfill \cr 3b - 1/2 - 3/2y \le x \le 6b - 3/2y \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr m = \max \left( {3\left( {b - a} \right),3b - 1/2 - 3/2y,0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y,\;6b - 3/2y,\;1} \right) \hfill \cr m \le x \le n \hfill \cr} \right. \cr} $$
где на третьем шаге мы решили изолировать $x$, но, конечно, мы могли бы сделать это с помощью $y$ в этом случае получение $$ \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( {3/2\left( {b - a} \right) - x/2 2b - 1/3 - 2/3x 0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3/2\left( {b - a} \right) + 1 - x/2 \;2b - 2/3x \;2} \right) \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$
Итак, однажды исправив $a, \; b, \; y$ в допустимом диапазоне, мы можем закончить вычисление $x$ в первом случае или наоборот во втором варианте.
Система, нарисованная в Geogebra, дает

заметка в ответ на ваш комментарий
Как видно из эскиза, решения (если они существуют) в целом определяют 2D-область.
Ссылаясь на изображенный случай, однажды исправленный$a$ и $b$, вы можете описать область, поставив $y$ охватить допустимый диапазон $[0,2]$ и, следовательно, определить $x$быть в двух границах, обязательно в зависимости от$y$.
Нет возможности выразить границы$x$ и $y$ независимо друг от друга.
пример с $a=0.63 ,\; b=0.59$
$$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 0.63 \\ b = 0.59 \\ 0 \le y \le 2 \\ m = \max \left( { - 0.12,1.27 - 3/2y,0} \right) \\ n = \min \left( {1.88 - 2y,\;3.54 - 3/2y,\;1} \right) \\ m \le x \le n \\ \end{array} \right.\;\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le y \le 2 \\ \begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y\; \to \;\emptyset } \hfill & {\left| {\;0.94 \le y \le 2} \right.} \hfill \\ \end{array} \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0.18 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ \end{array}} \right. \\ \end{array} $$
Вторая версия вместо этого дает более простой результат $$ \left\{ \matrix{ a = 0.63 \hfill \cr b = 0.59 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( { - 0.06 - x/2,1.18 - 1/3 - 2/3x,0} \right) = \hfill \cr = 1.18 - 1/3 - 2/3x \hfill \cr n = \min \left( {0.94 - x/2,\;1.18 - 2/3x,\;2} \right) = \hfill \cr = 0.94 - x/2 \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$
добавление
Я не понимаю вашего требования, но в любом случае я предложу более геометрический подход к проблеме, который может предложить другой взгляд на решения.
Каждое двойное неравенство представляет собой полосу между двумя параллельными линиями с постоянным разделением. Две полосы перекрываются, образуя параллелограмм, который просто перемещается, сохраняя при этом свою форму неизменной.

Координаты четырех вершин равны $$ \begin{array}{c|cccc} {} & & {Vsi} & {Vss} & {Vii} & {Vis} \\ \hline x & & {9a + 3b - 8} & {9a + 3b - 6} & {9a + 3b - 2} & {9a + 3b} \\ y & & { - 6a + 5} & { - 6a + 4} & { - 6a + 1} & { - 6a} \\ \end{array} $$ Теперь, пока x из $Vsi$ больше, чем $1$ весь параллелограмм $P$ будет вне прямоугольника $R = [0,1] \times [0,2]$.
То же самое, если у$Vsi$ниже нуля. Итак, чтобы иметь решения, это должно быть$$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 9a + 3b - 8 \le 1 \hfill \cr 0 \le - 6a + 5 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr a \le 5/6 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 1/2\; \wedge \;0 \le a \le 5/6 \hfill \cr 1/2 < b \le 2\; \wedge \;0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr} \right. \cr} $$Обратите внимание, что приведенное выше условие является необходимым, но недостаточным. Это потому, что когда верхняя вершина находится во втором квадранте, нам все равно нужно наложить$P$ пересекает $R$, что так же сложно, как использовать предыдущие минимальные / максимальные условия.
$9a+3b-8\leq x \leq9a+3b$
$-6a \leq y \leq 5-6a$
Это уравнения, и есть ограничения
$0≤x≤1$
$0≤y≤2$
$0≤a≤1$
$0≤b≤1$
Пересечение может существовать или не существовать в зависимости от a и b.
График поможет:
https://www.desmos.com/calculator/9dbajg4hcx
Синяя часть - результат, а зеленая часть - ограничения.