Сбежать с самолета
Однажды воскресным утром вы просыпаетесь и обнаруживаете себя совершенно одиноким на бесконечной плоской плоскости. Вы мало что помните о прошлой ночи, кроме того, что вы, возможно , разозлили волшебника. Рядом с вами вы найдете палитру со счетным бесконечным числом цветов и записку, в которой вам приказывают:
Вы должны закрасить каждую точку на этой плоскости так, чтобы я никогда не смог найти треугольник с вершинами одного цвета и рациональной площади.
Если вы справитесь с этой задачей, мастер отпустит вас - потерпите неудачу, и вы навсегда останетесь в ловушке. Вы не сомневаетесь в способностях волшебника, так что здесь никаких дешевых трюков. Рассматривая проблему, вы приступаете к работе - и спустя несчетное количество времени волшебник стоит рядом с вами, любуясь вашей работой.
Освобождает ли вас мастер?
РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы исключить латеральное мышление, ответы на вопросы, основанные на постановке вопроса, вот формальная математическая формулировка головоломки:
Существует ли раскраска $\mathbb{R}^2$ такое, что невозможно найти треугольник с вершинами одного цвета и рациональной площади?
Ответы
Очень интересная суперзадача.
В 2D-плоскости любые три неколлинеарные точки образуют треугольник, поэтому используйте только 2 точки каждого цвета. Поскольку у вас бесконечное количество цветов, они никогда не закончатся. Однако это не спасает нас от кончины, поскольку эта задача займет бесчисленное количество времени, в результате чего мы застрянем в самолете. Итак, мы должны подойти к этому как к сверхзадаче. Нарисуйте первую точку за 1 минуту, закрасьте вторую точку за половину времени, закрасьте третью за половину второй точки и т. Д. Всего за две минуты, и сколько бы мастеру ни пришлось проверять, вы будете свободны от самолет!
Редактировать:
Вышеупомянутое решение сталкивается с проблемой, что у вас заканчиваются цвета, потому что на $\mathbb{R}^2$и существует счетное бесконечное количество цветов. Я могу подойти немного ближе, увеличив число цветов. Вместо того чтобы думать о цветах как о дискретных пятнах краски, которые дал мне мастер, я теперь рассмотрю длину волны света, которую отражает пигмент (полностью игнорируя то, как здесь работает смешивание красок). Теперь на каждом шаге суперзадачи смешайте краски так, чтобы получить новый цвет (например, на шаге 1 вы используете краску с$700nm$, на шаге 2 вы используете краску с $700.\bar01nm$, так далее.). Теперь у вас есть бесчисленное множество цветов краски. Однако мне кажется, что самолет полон бесконечных двумерных точек.$\mathbb{R}^2$, а у меня только краски с $\mathbb{R}>0$, поэтому у меня все еще не хватает цветов.
Конечно это просто
У вас есть бесконечное количество цветов, поэтому вы используете каждый цвет только один раз. Вы не указали, являются ли «баллы» истинными баллами. Если это истинные точки на плоскости, то они не имеют размеров, поэтому вы не можете их раскрасить. Нельзя использовать даже 1 молекулу краски.
или же
Если вы справитесь с этой задачей, мастер отпустит вас - потерпите неудачу, и вы навсегда останетесь в ловушке.
Учитывая, что задача будет длиться вечно, вы навсегда останетесь в ловушке, выполняя задачу, никакой мастер не освободит вас.
или же
Вы рисуете бесконечно длинные параллельные одноцветные прямые. Не будет треугольников с тремя вершинами одного цвета.