« $\Sigma_1^1$-Пеано арифметика »- это точно $\mathbb{N}$?
Позволять $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$быть теорией в логике второго порядка, полученной путем расширения обычных аксиом Пеано первого порядка, чтобы включить произвольные$\Sigma^1_1$формулы индукционной схемы. У меня вопрос:
Делает $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ есть нестандартные модели?
Обратите внимание, что модель $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ это точно модель $\mathsf{PA}$ без (собственно нетривиально) $\Sigma^1_1$-определяемые разрезы.
Если мы заменим $\Sigma^1_1$ с участием $\Pi^1_1$ ответ сразу отрицательный, так как набор стандартных элементов модели $\mathsf{PA}$ является $\Pi^1_1$. Однако ничего подобного, похоже, не работает для$\Sigma^1_1$ (хотя я легко мог упустить что-то очевидное).
Одно быстрое наблюдение: $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$влечет за собой истинную арифметику первого порядка . Учитывая формулу первого порядка$\varphi(x)$, позволять $\hat{\varphi}(x)$ быть $\Sigma^1_1$ формула "Есть разрез, содержащий $x$ такой, что каждый элемент разреза удовлетворяет $\varphi$." Если $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ мы тривиально имеем $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; индукцией по сложности$\varphi$ мы можем показать, что если каждое стандартное натуральное число удовлетворяет $\varphi$ тогда $0\in\hat{\varphi}^M$ и следовательно $M\models\forall x\varphi(x)$ (что затем дает $M\equiv\mathbb{N}$). Однако я не понимаю, как использовать это для получения категоричности. На самом деле, насколько мне известно, возможно, что, например, каждая нетривиальная сверхмощность$\mathbb{N}$ удовлетворяет $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Обратите внимание, что$\Sigma^1_1$приговоры сохраняются при взятии сверхспособностей; однако пример индукции для$\Sigma^1_1$ формула $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ а также $\Pi^1_1$ предложения не сохраняются при взятии сверхспособностей, так что это, похоже, не помогает.)
Ответы
Если вы позволите $\Sigma^1_1$ формулы должны иметь параметры, затем PA$_{\Sigma^1_1}$есть только стандартная модель. Чтобы доказать это, используйте$\Pi^1_1$ определение стандартности для создания $\Sigma^1_1$ формула $\sigma(x,y)$ говоря это $x<y$ а также $y-x$ не является стандартным, т. е. $x$ бесконечно далеко ниже $y$. Это легко показать$\sigma(x,y)$ подразумевает $\sigma(x+1,y)$. Итак, по$\Sigma^1_1$ индукция, если $\sigma(0,y)$ тогда $\forall x\,\sigma(x,y)$ и, в частности, $\sigma(y,y)$, что абсурдно. Так$\neg\sigma(0,y)$. Но это значит$y$ стандартный.