Сколько дырок может быть у проекции алгебраического многообразия?

Question

Позволять $V$ быть замкнутым подмногообразием в $\mathbf{P}^n$. (Мы работаем над алгебраически замкнутым полем.) Определим$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ по $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, где $P_0$ это суть $(0,0,...,0,*)$ в $\mathbf{P}^n$.

Если только $\pi$ были определены во всех $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ будет замкнутым подмногообразием $\mathbf{P}^{n-1}$. Это не так, и$V$ не обязательно быть замкнутым подмногообразием $\mathbf{P}^{n-1}$. (Простой пример:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) Можно ли еще сказать, что $\pi(V)$ содержит $\overline{\pi(V)}\setminus W$, где $W$ замкнутое подмногообразие положительной коразмерности в $\overline{\pi(V)}$ и степень $\leq \deg(V)$, сказать? Как?

Answer 1

Взорвать, чтобы получить морфизм $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Позволять$\widetilde{V}$ быть правильным преобразованием $V$ в $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. потом$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.

Теперь мы можем написать $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ где $C_{P_0}V$ касательный конус $V$ в $P_0$.

Так $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (что в ваших обозначениях $\pi(V)$) содержит $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.

Как указано выше, $\Pi(\widetilde{V})$ равно $\overline{\pi(V)}$. Более того,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ является замкнутым подмножеством исключительного дивизора $E$, и $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ является изоморфизмом.

Итак, мы получаем это $\pi(V)$ (в ваших обозначениях) содержит $\overline{\pi(V)} \setminus W$ где $W \subset \mathbf P^{n-1}$ замкнутое подмножество, изоморфное проективизации касательного конуса $V$ в $P_0$.

Закрытый набор $W$ имеет размер $\operatorname{dim}(V)-1$. С другой стороны,$\pi(V)$ имеет тот же размер, что и $V$ если только $V$ конус, вершина которого содержит $P_0$, но в этом случае $\pi(V)$ замкнутое множество.

Что касается степени, то степень $\mathbf P(C_{P_O}V))$как подсхемы из$E$ равна кратности $V$ в $P_0$, следовательно, ограничено сверху $\operatorname{deg}(V)$. поскольку$W$является (изоморфным) лежащим в основе замкнутым подмножеством этой схемы, его степень не выше, чем у схемы. Итак, у нас есть$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ как требуется.