Сколько всего четырехзначных чисел, не содержащих нуля и умноженных на семь?

Question

Я видел в своей книге по математике вопрос, он кажется очень тривиальным, в нем говорится, что:

Сколько всего четырехзначных чисел, не содержащих нуля и умноженных на семь?

Я подумал о:

(все четырехзначные числа, не содержащие нуля) минус (все четырехзначные числа, не содержащие 7 и 0)

для того, чтобы найти все четырехзначное число, не содержащее нуля, и умножение его четырех цифр на 7.

потом $(9^4)-(8^4)=2465$. Однако ответ$4904$. Что мне не хватает?

Answer 1

Ваш первый ответ верен в отношении сделанного вами утверждения:

Позволять $(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. Так$A = 1000a+100b+10c+d $ это четырехзначное число.

Моревовер, $a\cdot b \cdot c \cdot d $ делится на $7$, тогда и только тогда, когда его разложение на простые множители содержит хотя бы один раз $7$ так, если и только если, по крайней мере, один из $A$цифра равна $7$. Следовательно, ответ$9^4-8^4 = 2465$ как вы сказали.

Однако, если вы ищете количество четырехзначных чисел, произведение их цифр делится на$7$ ответ $4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Вы можете проверить это: чтобы получить четырехзначное число$A$ чтобы произведение цифр делилось на $7$, он должен содержать $0$ или $7$.

Позволять $A = 1000a+100b+10c+d$ где $0\leq a,b,c,d \leq 9$ целые числа и $a \neq0$.

Если $a=7$ тогда у вас могут быть все возможные комбинации для $b,c$ и $d$. Таким образом, это дает вам$10^3$ выбор.

Если $a \neq 7$, то вы ищете номер $n$ возможностей иметь хотя бы $b,c$ или $d$ равно $0$ или $7$. Morevover, у вас точно$8^3$ возможности для $b$, $c$ и $d$ не быть равным $0$ ни $7$. Следовательно$n = 10^3-8^3$. Наконец есть только$8$ возможности для $a$ отличаться от $7$.

Следовательно, номер, который вы ищете, $8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.