Следствие неравенства Дуба для общих субмартингалов
Я пытался доказать следующий результат:
Позволять $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$быть субмартингейлом или супермартингейлом. Используйте неравенство Дуба и разложение Дуба, чтобы показать, что для всех$n \in \mathbb N$ и $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ где $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
Версия неравенства Дуба, которую мы используем, заключается в том, что для любого $p \geq 1$, $\lambda > 0$, и мартингейл или положительный субмартингейл $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Достаточно доказать этот результат, когда $X$является субмартингалом. Использование разложения Дуба$X = M+A$, $M$ мартингейл и $A$ все более предсказуемый процесс с $A_0 = 0$ (так $A$положительный субмартингал), можно показать более сильное неравенство. Действительно, поскольку$A$ положительный и возрастающий, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. И с тех пор$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ откуда следует, что $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Используя эти неравенства, следует, что \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} У меня двоякий вопрос:
- Есть ли в этом аргументе ошибка, такая как изъян в моих предположениях или необоснованное предположение, которое я не замечаю? А если нет,
- Есть ли причина, по которой в книге, которую я использую ( Теория вероятностей Кленке : всеобъемлющий курс ), используются коэффициенты$12$ и $9$ скорее, чем $9/2$ и $6$? Является ли заявленный результат более классическим или его легче показать, используя более фундаментальные свойства мартингалов и разложения Дуба?
Эта проблема также обсуждалась здесь , но эта ветка на самом деле не решает кажущуюся произвольность коэффициентов.$12$ и $9$. Может ли кто-нибудь дать представление?
Ответы
Это всего лишь фрагмент ответа, потому что я не касаюсь вашего доказательства или методов, которые он использует, но он слишком длинный для комментария. Моя интуиция подсказывает, что коэффициенты произвольны, потому что они не оптимальны. Вот одно возможное улучшение, которое я беру из книги Жана-Франсуа Ле Галля « Броуновское движение, мартингалы и стохастическое исчисление » (стр. 263).
Максимальное неравенство Если$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ это супермартингейл тогда для всех $\lambda>0$ и $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Доказательство (нет в книге). Исправить$\lambda>0$ и $k\in\mathbb{N}$. Позволять$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Определите время остановки$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$, и обратите внимание, что $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. поскольку$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ это супермартингейл $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Теперь позвольте $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ и $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. У нас есть$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Перестановка и суммирование двух неравенств дает $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ Кстати, мы также доказали, что даже лучшая оценка сверху $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.