Следующие шаги для энтузиаста теории Морзе?
Я не знаю, действительно ли этот вопрос подходит для МО, но вот что: мне очень нравится теория Морса, и я хотел бы знать, в каких дальнейших направлениях я могу пойти, но, как полный неспециалист, мне трудно понять вперед, чтобы определить эти направления и то, где мне следует читать. Ниже я расскажу о своем опыте и конкретных интересах, а затем упомяну то, о чем слышал или о чем задумывался. Я был бы признателен за ссылки, соответствующие моему уровню, или, что еще лучше, за эскизы любых исторических или недавних траекторий Морзе.
Я прочитал теорию Морса Милнора и лекции по теореме о H-кобордизме (последняя была предметом моей дипломной работы). Я также немного читал о гомологии Морзе. Я думаю, проблема в том, что на этом мои знания теории Морзе заканчиваются не только детальными знаниями, но и темами и траекториями. Это затрудняет понимание, где искать дальше. Мои основные интересы (в настоящее время) связаны с дифференциальной топологией и симплектическими вещами. Чтобы дать этому вопросу разумный диапазон, вот пара ограничений:
- Этот вопрос касается тем из «теории Морса» (в некотором широком смысле), а не приложений теории Морса к другим вещам. Я определенно заинтересован в них, но этот список будет бесконечным. В частности, я перехожу свои торические любопытства к другому вопросу.
- Меня в основном интересуют разные вещи, в отличие от дискретной или стратифицированной теории Морса.
- Ограничение конечными размерами идеально подходит для этого контекста. Я знаю, что существуют гильбертово-банаховы многообразия и тому подобное, но я ничего о них не знаю. Возможно, я не могу полностью объявить теорию Флоера вне закона, но я просто скажу, что, хотя я планирую узнать о ней в конечном итоге, я думаю, что это выходит за рамки моих нынешних возможностей.
Вот некоторые конкретные вещи, которые меня интересовали:
Когомологические произведения: я полагаю, что для пары Морса-Смейла чашечное произведение (или его двойственное по Пуанкаре) можно вычислить по числам пересечений нестабильных многообразий, хотя я не читал подробного описания этого. Ближе к концу гомологии Морса Шварца (которую я не читал) он определяет чашечное произведение аналогично обычной конструкции сингулярных когомологий. Возможно, наиболее интересными являются продукты из главы 1 «Гомотопии Морзе» Фукая.$A^\infty\!$-Категория и гомологии Флоера. "Я еще не читал это, но надеюсь сделать это в ближайшем будущем. Есть ли какой-либо другой важный вид чашечного продукта в когомологиях Морзе, который я здесь пропустил?
Структура CW: в теории Морса Милнор описывает многообразия, добавляя ячейки и затем сдвигая их, чтобы получить реальную структуру CW (т.е. ячейки присоединяются только к ячейкам более низкой размерности). Это полезно, но быстро оставляет позади многообразие и просто становится вопросом о гомотопинге прикрепления карт. Неустойчивые многообразия добавляют важный уровень детализации в декомпозицию ручек, но даже с парой Морса-Смейла «прикрепляющие» карты, как известно, нарушают непрерывность. Исправить это кажется непростым вопросом, и я не уверен, где находится ответ. Если я правильно понимаю, это связано с компактификацией пространств модулей линий тока, так что, возможно, ответ можно найти в книге Шварца или заметках Хатчингса? (Хотя комментарий к этому МО-вопросуутверждает, что утверждение Хатчингса неверно.) Связана ли истинная структура CW с тем, что искал Коэн-Джонс-Сигал в «Теории Морса и классифицирующих пространствах»? (Опять же, я не читал, но я заинтригован и надеюсь прочитать.)
Конечные объемные потоки. Другой документ, который меня заинтриговал, но не прочитал, - это работа Харви и Лоусона «Конечные объемные потоки и теория Морса». Это кажется прекрасным способом обойти вышеупомянутые проблемы прерывности и создать в процессе совершенно новую схему теории Морзе. Однако чтение этого, вероятно, потребует сначала изучения токов ... Это кажется очень элегантным само по себе, но может быть интересно узнать, куда идет эта теория и что с ней делается, в качестве мотивации для изучения необходимой основы.
Теория Серфа: я немного слышал о теории Серфа, но я не могу найти никаких ссылок на нее (на английском языке, поскольку я не говорю по-французски). Это очень естественный способ понять взаимосвязь между различными декомпозициями дескрипторов. Возможно, это непопулярно из-за сложности / длины статьи Серфа? Или потому, что позже это было включено в рамочную функциональную работу Хэтчера, Игусы и Кляйна (и, может быть, других, я просто ничего не знаю об этой области), как упоминалось в этом вопросе МО ? Я действительно не знаю достаточно об этом, чтобы задать правильный вопрос, но я хотел бы получить любые предложения о том, как узнать больше.
Другое: Какие еще важные направления вы бы порекомендовали любителю теории Морзе?
Ответы
Недавний прорывный результат, который существенно использует теорию Морса, - это опровержение Ватанабе гипотезы Смейла в размерности 4 . В нем он предоставляет метод вычисления интегралов конфигурационного пространства Концевича путем подсчета определенных ломаных потоковых линий для градиентов функций Морса. Эти теоретико-морсовские инварианты используются для доказательства того, что некоторые 4-мерные дисковые расслоения с тривиализованными расслоениями не являются тривиальными. Еще многое предстоит сделать для развития свойств этих типов инвариантов и их использования для обнаружения нетривиальных гомотопических групп групп диффеоморфизмов других многообразий.
Следующие шаги:
(0) (Относительная теория Морса) В статье Джеффри Месса «Группы Торелли поверхностей рода два и три» изучается некоторая относительная теория Морса множества периодов Абеля-Якоби в верхних полупространствах Зигеля с целью вывода, что группа Торелли (во втором роде ) - свободная группа со счетным числом образующих. Я подумал, что его доказательство было очень интересным, и попытался узнать больше, но вряд ли добился прогресса ...
(1) (Почти сложные структуры), если вас интересует симплектическая топология, то в учебнике Элиашберга-Чилебака «От Штейна до Вайнштейна и обратно: симплектическая геометрия аффинных комплексных многообразий» есть очень интересная трактовка теории Морса, особенно в том, что касается почти -сложные конструкции $J$ на симплектических многообразиях $(M, \omega)$. Я думаю, что этот учебник затмевает тексты Милнора. Содержит очень элементарное доказательство того, что «любой$2n$-мерное комплексное многообразие имеет гомотопический тип $n$-мерный CW-комплекс ". (Действительно, неустойчивое многообразие $W^+$ вполне лагранжева относительно невырожденной симплектической формы $\omega=\omega_f$, и поэтому не более $n$-размерный). Здесь$f$ - вещественная функция Морса, ограничение которой на каждое $J$-инвариантная двухплоскость субгармонична.
(2) Градиентные потоки к полюсам (где потенциальная функция $f$ и его градиент $\nabla f$ расходится на $\pm \infty$), похоже, имеет больше применений к топологии, чем обычный градиентный поток к нулям. Особенно при попытке сильной деформации втянуть некомпактный источник$X$в компактный позвоночник меньшего размера. Применение градиентного потока к нулям требует условия липшицевости непрерывности на бесконечности для параметра деформации. Здесь неравенство Lowasiejiwicz обычно играет решающую роль в доказательстве непрерывности повторно параметризованного градиентного потока. Самая большая проблема с «градиентным потоком к нулям» заключается в том, что градиентный поток замедляется по мере приближения к своей цели. В своих приложениях оптимального переноса к алгебраической топологии я считаю, что градиентный поток к полюсам намного удобнее, поскольку градиент имеет разрушение за конечное время, а непрерывность репараметризованного потока возникает немедленно, без каких-либо апелляций к Ловазейдживчу. По сути, «градиентный поток к нулям» - это мягкая посадка, в то время как «градиентный поток к полюсам» ускоряется в цель.
Более конкретно, я предлагаю, чтобы следующим шагом был «градиентный поток к полюсам». И это происходит регулярно при оптимальной транспортировке, о чем я расскажу ниже.
(3) (Оптимальная транспортировка) Теория Морса принимает новую форму в оптимальной транспортировке, где теория Морса играет роль в установлении регулярности / непрерывности и единственности $c$-оптимальные транспортные планы.
Рассмотрим вероятностное пространство источника $(X, \sigma)$, цель $(Y, \tau)$, и стоимость $c: X\times Y \to \mathbb{R}$. Канторовича двойственность характеризует$c$-оптимальный транспорт из $\sigma$ к $\tau$ через $c$-выпуклый потенциал $\phi=\phi^{cc}$ на $X$ с участием $c$-трансформировать $\psi=\phi^c$ на $Y$. Канторович говорит, что$c$-оптимальный транспортный план $\pi$ поддерживается на графике $c$-субдифференциальный $\partial^c \phi$, или, что то же самое, на графике $\partial^c \psi$.
Субдифференциалы характеризуются случаем равенства по $$-\phi(x)+\psi(y)\leq c(x,y).$$ Дифференцируя случай равенства по $x$ а также $y$ дает равенства $$-\nabla_x \phi(x)=\nabla_x c(x,y)$$ а также $$\nabla_y \psi(y)=\nabla_y c(x,y).$$ (RJMcCann показывает, что эти равенства выполняются почти всюду при общих предположениях о $c$). Например, условие (Twist): Если$Y\to T_x X$ определяется $y\mapsto \nabla_x c(x,y)$ инъективен для каждого $x\in X$, тогда $$y=T(x):=\nabla_x c(x, \cdot)^{-1}(\nabla_x \phi(x))$$ определяет $c$-оптимальная измеримая карта по Борелю из $\sigma$ к $\tau:=T\#\sigma$.
Кроме того, волокно $T^{-1}(y)$ можно охарактеризовать как совокупность $x$ удовлетворение $\nabla_y\psi(y)=\nabla_y c(x,y)$ или же $$\nabla_y [c(x,y)-\psi(y)]=0.$$ Но обратите внимание, что различая $c$-Неравенство Лежандра Фенхеля мы второй раз эксклюзивно изучаем глобальные минимумы потенциалов $y\mapsto c(x,y)-\psi(y)$, для каждого $x\in X$.
Используя обычную теорему о неявной функции, слой $T^{-1}(y)$ является гладким подмногообразием в $X$ если $D_x(\nabla_y c(x,y))$ невырожден для каждого $x\in T^{-1}(y)$. Если цель$(Y, \tau)$ одномерно, для этого нужна функция $x\mapsto \nabla_y c(x,y)$ быть свободным от критических точек для каждого $y\in Y$, а также $x\in T^{-1}(y)$.
На большинстве исходных коллекторов $(X, \sigma)$проверить отсутствие критических точек сложно. Если$X$ компактный и $c$непрерывно конечнозначно, то теория Морса (элементарное исчисление) его запрещает. Но мы с радостью изучаем затраты$c$с полюсами, если полюса являются единственными критическими значениями$c$! Например, гипотезу (Twist) можно перефразировать, сказав, что двухконечная перекрестная разница$$c_\Delta(x;y,y'):=c(x,y)-c(x,y')$$ функция без критических точек для всех $y,y'$,$y\neq y'$ а также $x$на своем домене. Это не может быть выполнено на компактных пространствах, если не разрешены полюса.
(3.1) (Канонические функции Морса / стоимости?) Нам нужно различать общие и канонические . По моему опыту, я считаю, что общие функции очень сложно записать, изучить или реализовать в Wolfram MATHEMATICA. Как известно, функции Морса являются общими (в смысле Сарда, Тома и т. Д.). Но лично я предпочитаю канонические функции Морса. Или с точки зрения общественного транспорта, канонические затраты $c$ чьи производные $\nabla c$ являются подходящими функциями типа Морса.
Например, если вы хотите изучить оптимальную транспортировку с закрытой поверхности. $\Sigma$ к реальной линии $Y=\mathbb{R}$ (или обвести или построить график), затем ищется подходящая стоимость $c: \Sigma \times Y \to \mathbb{R}$ удовлетворяющие вышеуказанным условиям, например, что $\frac{\partial c}{ \partial y}(x ,y)$ быть без критических точек в $x\in \Sigma$ для каждого $y\in \mathbb{R}$. Это запрещено теорией Морса, если$\Sigma$ компактный и $c$всюду конечно. (В приложениях мы разрешаем$c$ иметь $+\infty$полюса. потом$\partial c/\partial y$ возможно, свободна от критических точек на своей области определения).
Но какова каноническая стоимость $c: \Sigma \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ который представляет собой интересный геометрический транспорт из $\Sigma$ к $\mathbb{R}$? Здесь исходное и целевое пространства$\Sigma$, $Y=\mathbb{R}$ не имеют никаких взаимодействий априори, они даже не встроены в общее фоновое пространство, если мы не предполагаем $Y\subset X$.
Что касается чашеобразного продукта в рамках теории Морса, я думаю, что Кенджи Фукая изучал в разделе 1 своей гомотопии Морса и ее квантовании . На самом деле для определения чашечного произведения нам понадобится не одна, а три функции Морзе.
В симплектической геометрии гомологии Флоера можно рассматривать как бесконечномерный аналог теории Морса для функционала действия на пространстве путей. См. Книгу « Теория Морса и гомологии Флоера» для подробного введения.