Сложность понимания значения парадокса Греллинга.
Предыстория: я новичок в математике, но еще не поступил в университет. Я случайно начал читать Введение в математическую логику Мендельсона , когда наткнулся на этот парадокс во вводной части:
Парадокс Греллинга: прилагательное называется автологическим, если свойство, обозначенное прилагательным, сохраняется для самого прилагательного. Прилагательное называется гетерологическим, если свойство, обозначенное прилагательным, не распространяется на само прилагательное. Например, «многосложный» и «английский» являются автономными, а «односложный» и «французский» - гетерологичными. Рассмотрим прилагательное «гетерологический». Если «гетерологичный» гетерологичен, то он не гетерологичен. Если «гетерологичный» не гетерологичен, то он гетерологичен. В любом случае гетерологичность одновременно гетерологична и не гетерологична.
Я хочу понять следующее:
- В чем источник логической ошибки в этом парадоксе? Если я сформулирую набор$A$ всех прилагательных и подмножеств $A_a$ и $A_h$ соответствующие автологическим и гетерологическим прилагательным соответственно, то может быть так, что $\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, т. е. не принадлежит ни одному из двух множеств (если только $A_a\cap A_h=\emptyset$ и $A_a\cup A_h=A$).
- На более легкой ноте я хотел бы узнать о математическом значении этого парадокса и о том, как с ним обращаются в современных теориях множеств.
Хотя я понимаю, что ответ (ы) может быть очень абстрактным, пожалуйста, добавьте более простую аналогию вместе с необходимым техническим объяснением, если это возможно.
Ответы
Если $A, A_a,$ и $A_h$ на самом деле "имеет смысл" - подробнее об этом ниже - тогда у нас явно есть $A_a$ и $A_h$ раздел $A$: $A_h$ определяется как $A\setminus A_a$. Итак, ваше предложение не работает.
Исправление в том, что $A_a$ и $A_h$на самом деле сложнее, чем кажется. У нас есть парадокс, только если прилагательное «гетерологический»$A$. Но оказывается, что этого не происходит: в основном, чтобы определить еретологичность, нам нужно использовать предикат истины для$A$и у нас нет ни одного из них в$A$сам .
Вот один из способов увидеть парадокс в действии.
Позволять $\ulcorner\cdot\urcorner$ быть вашей любимой функцией нумерации по Гёделю, и пусть $Form$- множество всех формул первого порядка в языке арифметики. Для простоты напишем "$\mathbb{N}$"для структуры $(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Тогда набор$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$ версия $A_h$ для формул арифметики первого порядка, не может быть определена формулой арифметики первого порядка: если $X$ были определены некоторой формулой $\theta$ арифметики первого порядка, то есть если бы мы имели $$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$ для какой-то формулы $\theta$ арифметики первого порядка, мы получили бы противоречие, рассмотрев, $\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
В более общем плане мы можем обобщить конкретную настройку выше на любую настройку, где у нас есть некоторая логика. $\mathcal{L}$, некоторая структура $\mathfrak{A}$, и некоторый соответствующий механизм "кодирования" $\mathcal{L}$-формулы в $\mathfrak{A}$. Чтобы получить правильные детали, нужно немного подумать, но дело в том, что парадокс Греллинга иллюстрирует фундаментальный феномен "ускорения", которого мы не можем избежать: набор Греллинга для конкретной логической / структурной / кодовой системы не может быть определен в этой структуре с помощью формула этой логики.
(Обратите внимание, что $X$действительно может быть определен в более широком контексте : например, он может быть определен в$\mathbb{N}$формулой логики второго порядка, и она может быть определена формулой первого порядка во вселенной множеств , из которых$\mathbb{N}$ образует очень маленький кусок.)