Сомнение, связанное с доказательством теоремы о размерности слоев.
- $f:X \rightarrow Y$ - морфизм многообразий такой, что для каждого $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. потом$\dim X=\dim Y+n$. Если в доказательстве этой теоремы заменить$X$аффинным открытым множеством, почему размер волокна такой же. Пожалуйста, объясни.
- $f:X \rightarrow Y$ - такой морфизм аффинных многообразий, что для каждого $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ для некоторого плотного подмножества $W$ из $Y$. потом$\dim X= \dim Y+n$. Я попытался записать доказательство этого, которое выглядит следующим образом:
Доказательство индукцией по $\dim Y$. Нечего доказывать, когда$\dim Y=0$. Позволять$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ быть замкнутыми подмногообразиями. $f=(f_{1},...,f_{m})$, куда $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.
Позволять $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$. $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$. $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.
$\widetilde{X}$ быть неприводимой компонентой $X^{'}$. $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.
Существует неприводимая компонента $\widetilde{Y}$ из $Y^{'}$ такой, что $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$. $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.
Учитывать $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.
Как я могу сделать вывод, что волокно такое же? Пожалуйста, разрешите это.
Ответы
Предположим здесь неприводимость.
Поскольку аффинные открытия являются плотными, ограничиваясь аффинными открытием, вы либо полностью пропускаете волокно, либо волокно просто становится другим плотным подмножеством самого себя (следовательно, не меняет размерность). Чтобы иметь в виду картинку, рассмотрим тривиальную проекцию$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, где каждое волокно является копией $\mathbb{P}^1$. Если вы ограничиваетесь аффинным открытием$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, волокно становится $\mathbb{A}^1$ или пусто (на бесконечности).
Интуитивно, если вы рассматриваете отображение алгебры $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, то любой максимальный идеал общего положения $\mathfrak{m}$ отображается на некоторый простой идеал $P$ которое можно продолжить до цепочки $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Заметь$f^*$ должен быть инъективным (не совсем, но допустим, что здесь), то максимальный идеал имеет цепочку $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, и изображение этих простых чисел по-прежнему остается простым; так у вас длинная цепочка длины$\dim(Y)+n$ в $\Gamma(X)$. Я не уверен, проще ли завершить это до полного доказательства ...