Сомнение в расчете вероятности.
X и Y - два шахматиста:
- Вероятность того, что X выиграет определенную игру против Y, равна $1/3$ и вероятность того, что Y выиграет игру, равна $2/3$.
- Они играют в серию игр, в которых правила таковы, что X выигрывает две игры подряд, затем X выигрывает серию, а Y выигрывает серию, когда он выигрывает. $4$ последовательные игры.
- Они начинают игру и играют, пока один из них не выиграет серию.
Следуя этим правилам, какова вероятность того, что Y выиграет серию?
Я рассчитал вероятность, учитывая $4/5/6$ всего игр по отдельности, но я не смог найти какой-либо шаблон, чтобы я мог его суммировать $n$ количество игр и склонность $n$ до бесконечности$\ldots$ это мой основной подход к таким задачам, но я не мог здесь$\ldots$
Ответы
Нетерминальные состояния: $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, где имя $w$выражает последние соответствующие победы. Для каждого из этих состояний$w$ у нас есть вероятность $p_w$ тот $Y$выигрывает серию . Для этих вероятностей мы имеем следующие уравнения:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Например, когда мы находимся в состоянии $YY$, игрок $Y$выигрывает серию с вероятностью$p_{YY}$. В следующей игре$Y$ выигрывает с вероятностью ${2\over3}$ и мы тогда в состоянии $YYY$, и $Y$ проигрывает с вероятностью ${1\over3}$, и тогда мы находимся в состоянии $X$. Таким образом, получаем уравнение$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.
Решение этой системы дает начальную вероятность $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$