Спаривание BCS и пара BEC между фермионами

Question

Во многих конспектах лекций указывается

Мы можем настроить длину рассеяния, используя резонанс Фешбаха, чтобы реализовать кроссовер от БКШ к БЭК в вырожденных ферми-газах. Когда длина рассеяния отрицательна (положительна), мы получаем спаривание BCS (BEC).

Насколько я понимаю, пара BCS - это пара Купера с нулевым чистым импульсом из-за приближения BCS. Спаривание BEC - это коллективный режим из приближения случайных фаз, который представляет собой суперпозицию куперовской пары с ненулевым импульсом.$$\hat{b}_{q}=M_{pq}\hat{c}_{\downarrow q+\frac{p}{2}}\hat{c}_{\uparrow q-\frac{p}{2}}-N_{pq}\hat{c}^{\dagger}_{\uparrow -q-\frac{p}{2}}\hat{c}^{\dagger}_{\downarrow -q+\frac{p}{2}}$$ где $\hat{c}$ аннигилирует Фермион.

Если я правильно понимаю, предпосылки обоих случаев - пары Купера. Существование куперовских пар основано на притягивающем взаимодействии между фермионными частицами. Таким образом, пара BEC также требует отрицательной длины рассеяния.

Некоторые изображения в этих конспектах лекции показывают,

когда происходит спаривание BEC, два фермиона образуют молекулу

что намекает, что мое понимание о спаривании BCS и спаривании BEC выше неверно. И все же я до сих пор не могу себе представить, как отталкивающее взаимодействие может привести к образованию молекулы.

Итак, мои вопросы:

1. что такое спаривание BCS или спаривание BEC
2. как знак длины определяет спаривание BCS или спаривание BEC

Answer 1

Одно из лучших определений BEC - это (диагонализовано в базисе $\{\chi_i\}$) одночастичная матрица плотности $\rho_1$: $$ \rho_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_i n_i \chi^\ast _i (\mathbf{r})\chi_i (\mathbf{r}').$$

• Если $n_i$ имеет порядок 1 для всех $i$;, то вы находитесь в "нормальном" (не в бозе-конденсированном) состоянии;
• Если одно ( ровно одно) собственное значение$n_i$ в порядке $N$(общее количество частиц), в то время как другие имеют порядок единицы, у вас есть (простой) BEC. Это конкретное собственное состояние имеет макроскопическое заполнение;
• Если более одного собственного значения порядка $N$, у вас есть фрагментированный BEC.

В настоящее время для ферми-системы принцип исключения Паули немедленно запрещает любому собственному значению превышать единицу, поэтому BEC в буквальном смысле не может возникнуть .

Хотя вы можете задаться вопросом: а что, если мы построим матрицу плотности из двухчастичных состояний (вместо одночастичных)? Двухчастичные состояния могут быть двухатомной молекулой или куперовской парой (кстати, обе из них будут нестабильными, если не будет силы взаимодействия, отличной от нуля). В этом случае у вас может быть собственное значение порядка$N$ и так простой (а то и фрагментарный) «БЭК».

Но в буквальном смысле BEC - это:

• Макроскопическое заполнение (или нескольких) одночастичного состояния;
• Невзаимодействующие системы. Переход BEC обусловлен статистикой, а не взаимодействиями.

Итак, опять же, то, что мы называем «БЭК» в контексте фермионов, не является буквально и строго точным.

Но в любом случае.

Допустим, вы начали с разбавленного фермионного газа, который взаимодействует слабо и отталкивающе. Сила взаимодействия достаточно мала (и газ достаточно разбавлен), так что его достаточно только для того, чтобы связать два атома в молекулу. Молекула ведет себя как бозон, и в достаточно разбавленном газе мы можем пренебречь межмолекулярными взаимодействиями, чтобы получить БЭК молекул (да, у вас все еще могут быть связанные состояния со слабыми отталкивающими взаимодействиями). Этот вид помечает оба поля выше, так как это состояние отдельной «частицы» (молекулы) и не взаимодействует (приблизительно). Обратите внимание, что фермионная природа основных составляющих не имеет значения (кроме возможности создания молекулы), потому что при слабых взаимодействиях и низких плотностях радиус связанного состояния больше, чем размер атома.

Теперь сделайте взаимодействие (все еще слабое) привлекательным, чтобы вы увеличивали плотность газа. Молекулы начинают перекрываться (межмолекулярное расстояние <молекулярный радиус), поэтому вы больше не можете игнорировать межмолекулярные взаимодействия. Дело в том, что система начинает становиться «плотной». Волновые функции перекрываются, и у вас не может быть четких и определенных двухатомных молекул, которые были у вас раньше. Вы не знаете точно, какой атом связан с каким. В этом режиме «молекулы» называются куперовскими парами .

Это наглядно показано ниже (изображение взято отсюда ), где эллипсы показывают "диапазон" спаривания и связей:

Приведенное выше обсуждение во многом следует из книги Леггетта « Квантовые жидкости» , поэтому позвольте мне в заключение привести прямую цитату:

Думаете ли вы о процессе спаривания Купера как о разновидности BEC или как о чем-то совершенно другом - это, возможно, дело вкуса; однако важно понимать, что он качественно отличается от БЭК разбавленных дифермионных молекул [...].

---

Тогда краткий прямой ответ на ваши вопросы:

1. что такое спаривание BCS или спаривание BEC

В контексте кроссовера BCS-BEC ваши «пары BEC» будут двухатомными молекулами, образованными из двух фермионов. Эта молекула ведет себя как бозон, потому что в слабых взаимодействиях и в разбавленном пределе ее размер больше, чем атомные радиусы, так что фермионная природа ее составляющих не имеет отношения к динамике рассеяния. Другими словами, вы можете рассматривать эту «пару» как одну частицу (молекулу), и вы можете их конденсировать по Бозе.

Пары BCS - это пары Купера. Когда размер пары охватывает гораздо большую площадь, чем сам атом, становится невозможно узнать, с какими другими атомами она связана. Таким образом, у вас нет четких составных систем, подобных ранее существовавшим двухатомным молекулам. Идея электронов в куперовской паре обычно слишком упрощена и приводит к путанице. Процитирую самого Джона Бардина (буква «Б» в BCS):

Идея парных электронов, хотя и не совсем точная, улавливает ее смысл.

1. как знак длины определяет спаривание BCS или спаривание BEC

Что имеет значение, так это пространственная протяженность пары (молекулы или Купера) по отношению к межпарному расстоянию. У вас также может быть псевдо-BCS / BEC с привлекательными взаимодействиями и только с изменением плотности.

В случае экспериментальных холодных атомов выяснилось, что слабые значения положительной и отрицательной сил взаимодействия приводят к полезной фазовой диаграмме: