Спектральное разложение против разложения Тейлора

Nov 30 2020

Этот вопрос, а также полученные комментарии и ответы побудили меня задать этот вопрос, хотя я знаю, что найдутся люди, которые подумают, что это относится к математическому форуму. Но я думаю, что эта тема больше актуальна для математиков-физиков, чем для чистых математиков.

Мотивация: один из ответов на этот вопрос объясняет, что если$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ подходит функция и $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$- подходящий оператор, мы можем определить \ begin {уравнение} f (A): = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {уравнение} где$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$это мера. Однако гораздо легче понять определение в терминах сходящихся рядов, например, в случае экспоненты или логарифма. (В статистической физике$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ энтропия, когда $\rho$- оператор плотности .) Вот почему я хотел бы знать:

Можно ли еще написать $f(A)$ в терминах сходящегося ряда, когда $f$есть ли в какой-то момент расширение Тейлора ?

В случае, если ответ положительный, мне также интересно, есть ли относительно простой способ увидеть эквивалентность интеграла и ряда. (Насколько мне известно, интегралы - даже$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ - можно выразить как предел некоторой серии, так что, возможно, это будет хорошей отправной точкой).

Примеры: выражение \ begin {уравнение} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} A ^ n \ end {уравнение} имеет смысл всякий раз, когда$A$ является элементом полного нормированного пространства и сходится к $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ когда $A$Подходит оператор ( источник ).

Известно даже, что \ begin {уравнение} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ N (-1) ^ {k + 1} \ frac {(A- \ text {id}) ^ k} {k} \ right) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {уравнение} сходится к$\text{ln}(A)$при определенных обстоятельствах (см. здесь и здесь ), поэтому мне было интересно, есть ли общее правило. То есть, если у нас есть \ begin {уравнение} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n, \ end {уравнение} в окрестности$b$, является \ begin {уравнение} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {уравнение}

Ответы

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

Если оператор $A$ принадлежит $B(H)$ (пространство всюду определенного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве $H$) и нормально: $$A^*A=AA^*$$ то он допускает спектральное разложение $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ и, с очевидными обозначениями, $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.

В этом случае (а также в общем случае, когда $A$ неограничен (плотно определен, замкнут, нормален)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ для любой измеримой по Борелю функции $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. В этом случае ответ относительно прост.

Предложение .

Позволять $A \in B(H)$ быть нормальным и рассмотреть $f: \Omega \to \mathbb{C}$ аналитическая функция на открытом множестве $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.

Если $z_0 \in \Omega$ и разложение Тейлора $f$ около $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ имеет радиус сходимости $R+\epsilon$ для некоторых $\epsilon>0$, и наконец $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ тогда $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ где сходимость правой части находится в норме $B(H)$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Начнем с неравенства $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ что действительно, если $g$измерима по Борелю и ограничена. Это неравенство выполняется, даже если$A$ не ограничен.

Используя это неравенство, мы $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ за $N\to +\infty$поскольку сходимость разложения Тейлора равномерна в каждом компакте в круге сходимости. Заметить, что$\sigma(A)$ действительно компакт, включенный в $C_{R+\epsilon}(z_0)$.

Используя определение $g(A)$, следовательно, имеем $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ относительно нормы $B(H)$. Другими словами, если$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ в этой топологии. Это тезис. QED

Есть и другие результаты, которые можно доказать аналогично и которые охватывают случай $A$неограниченный (плотно определенный, замкнутый и нормальный). Если $\psi$ принадлежит проекционному пространству $\int_{E} 1 dP(z)$, где $E \subset C_{R}(z_0)$ - ограниченное борелевское множество (так что $\psi$ аналитический вектор $A$), тогда $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ где теперь сходимость в норме гильбертова пространства.