Способы вычислительного упрощения комбинаторного выражения?

Question

У меня есть следующее выражение, $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$ где $P_k$ является произвольной функцией, зависящей только от $k$.

Теперь легко увидеть, что это выражение будет вычислять одни и те же вещи снова и снова. Есть ли более компактное представление для решения этой проблемы? (Мне не нужно вычислительное решение, а скорее алгебраическое решение, которое отражает экономию на вычислениях)

Answer 1

Питер Форман в комментариях прав. Измените порядок суммирования и используйте биномиальную формулу:

$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$