Структура столбцовых сумм вещественных ортонормированных матриц.

Question

Предположим, у меня есть квадратная вещественная ортонормированная матрица $A \in O(D)$. Я хотел бы понять, какая структура существует в наборе сумм столбцов$A$.

Например, $O(2)$может быть параметризован одним скаляром. Чтобы понять почему, рассмотрим$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Поскольку первый столбец должен иметь единичную норму,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Поскольку второй столбец должен быть ортогонален первому столбцу и также должен иметь единичную норму,$b = -c$ а также $d = a$. Как следствие,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ и суммы столбцов $a + \sqrt{1 - a^2}$ а также $a - \sqrt{1 - a^2}$. Когда я рисую суммы столбцов как функцию$a$, Я наблюдаю эти красивые кривые:

Мой вопрос: как эта структура обобщается на $O(D)$? Сохранено ли какое-то количество? Если я упорядочу суммы столбцов в порядке убывания, сохранится ли между ними какая-то связь?

Может быть, мне нужна какая-нибудь теорема, которая гласит: «Если бы суммы предыдущих столбцов были $A, B, C,...$ то сумма следующего столбца равна $Z$ / ограничен между $[-X, Y]$"

Answer 1

Знание того, что набор всех возможных векторов-столбцов и сумм-векторов представляет собой сферу, по существу дает ответы на все возможные вопросы, которые вы могли бы задать о таких векторах. В частности, у нас есть:

Позволять $S(n)$ - набор векторов-столбцов ортогональных матриц в $O(n)$. затем$S(n)$ равен сфере радиуса $\sqrt n$ с центром в начале координат.

Из комментариев:

могу я сказать что-нибудь кроме этого? Поскольку векторы ортонормированы, это предполагает, что фиксация одной (или нескольких) сильно ограничивает то, какие оставшиеся точки на сфере могут быть выбраны.

Использование гипотезы о том, что векторы ортонормированы, не может дать вам более сильных результатов, поскольку эта гипотеза встроена в теорему о том, что множество всех векторов суммы столбцов является сферой. Так что да, фиксация одной или нескольких координат ограничивает другие, но ограничивает только их, и именно в том смысле, что они должны быть выбраны так, чтобы полученная точка оказалась на сфере. Нет смысла вводить какие-либо дополнительные ограничения, поскольку в результате$S(n)$является равным для сферы - не подмножество его, а не надмножества его, но равны. Поэтому ограничение настолько жесткое, насколько это возможно.

Например:

1. Вы можете параметризовать $S(n)$, используя любую стандартную параметризацию сферы .

2. Да, если исправить первое $k$координаты, это ограничивает остальные координаты, так как весь вектор должен оказаться на сфере. В частности, остальные координаты$a_{k+1}, ..., a_n$ должен быть выбран так, чтобы $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ Другими словами, если $r^2=a_1^2+...+a_k^2$, остальные координаты нужно выбрать из сферы радиуса $\sqrt{n-r^2}$ в $(n-k)$-мерное пространство.