$\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{4^n \cos^2 (\frac{\pi}{2^{n+2}})}}$ [дубликат]

Question

$\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{4^n \cos^2 (\frac{\pi}{2^{n+2}})}}$

Как я могу это рассчитать? Поскольку есть$4^n$ и $\cos^2x$, Я пытался: $$\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{4^n \cos^2 (\frac{\pi}{2^{n+2}})}} = 4\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin^2{\frac{\pi}{4 \cdot 2^n}}}{4^{n}\sin^2{\frac{\pi}{4\cdot2^{n-1}}}}}$$ использовать $2\sin x \cos x = \sin2x$

Answer 1

Уведомление $$\begin{align}\frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}} &= \frac{2}{1+\cos\theta} = 2\frac{1 - \cos\theta}{1-\cos^2\theta} = \frac{4 - 2(1+\cos\theta)}{1-\cos^2\theta}\\ &= \frac{4}{\sin^2\theta} - \frac{2}{1-\cos\theta} = \frac{4}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}} \end{align} $$ У нас есть $$\begin{align} \sum_{n=1}^p \frac{1}{4^n\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} &= \sum_{n=1}^p \left[ \frac{1}{4^{n-1}\sin^2\frac{\pi}{2^{n+1}}} - \frac{1}{4^n\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} \right]\\ &=\frac{1}{4^{1-1}\sin^2\frac{\pi}{2^{1+1}}} - \frac{1}{4^p\sin^2\frac{\pi}{2^{p+2}}}\\ &= \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4}} - \frac{\frac{16}{\pi^2}}{\left(\frac{2^{p+2}}{\pi}\sin\frac{\pi}{2^{p+2}}\right)^2} \end{align} $$ поскольку $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, знаменатель в последнем члене стремится к $1$ так как $p \to \infty$, Как результат,

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = \lim_{p\to\infty} \sum_{n=1}^p \frac{1}{4^n\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = 2 - \frac{16}{\pi^2} $$

Answer 2

Вот подсказка / общий план того, как я это сделал. Между прочим, я не использовал ваши манипуляции, поэтому сосредоточьтесь на исходной форме поставленной вами задачи. Используйте тот факт, что$$\sin(x)=2\sin\bigl(\frac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\frac{x}{2}\bigr)$$. Теперь продолжайте переписывать термин повторяющегося греха в этом выражении так же, как я только что сделал, где я уменьшил вдвое исходный аргумент. Это обобщает представление продукта$$\sin(x) = 2^n\cos\bigl(\frac{x}{2^n}\bigr)\sin\bigl(\frac{x}{2^n}\bigr)\prod_{k=1}^{n-1}\cos\bigl(\frac{x}{2^k}\bigr).$$ Чтобы использовать это, вам нужно будет переиндексировать сумму, чтобы начать с $n=2$. Перепишите внутреннюю часть суммы (а именно внутреннюю часть$\cos$ аргумент), чтобы вы могли подключить определенное значение $x$. Вам нужно будет использовать эту идентичность, чтобы превратить сумму в телескопический ряд, который в конечном итоге приведет к ответу. я получил$2-\frac{\pi^2}{16}$.