Существование вероятностной меры на окружности с заданными коэффициентами Фурье

Aug 20 2020

Мы говорим, что эрмитова симметрия (т. Е. $f_{-n} = f_n^*$ для любого $n \in \mathbb{Z})$ последовательность $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ положительно определен, если для любого $N \geq 0$ и любой $z_0 , \ldots, z_N \in \mathbb{C}$, \ begin {уравнение} \ sum_ {n, m = 0} ^ N f_ {nm} z_n z_m ^ * \ geq 0. \ tag {1} \ end {уравнение}

Согласно теореме Герглотца-Бохнера эрмитова симметрическая последовательность $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ с участием $f_0 = 1$ положительно определен тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера $\mu$ в кругу $\mathbb{T} = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$такие, что \ begin {уравнение} f_n = \ hat {\ mu} _n: = \ int _ {\ mathbb {T}} \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} nx} \ mathrm {d} \ му (х). \ end {уравнение}

Предположим теперь, что мне дан вектор $(f_{-N_0} , \ldots, f_0 , \ldots , f_{N_0}) \in \mathbb{C}^{2N_0+1}$ такой, что $f_0 = 1$ и $f_{-n} = f_n^*$ для любого $|n|\leq N_0$ и такое, что (1) выполняется для любого $N \leq N_0$. Всегда ли возможно завершить вектор$(f_n)_{|n|\leq N_0}$ в положительно определенную последовательность $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$, или, что то же самое, всегда есть вероятностная мера $\mu$ в $\mathbb{T}$ такой, что $\hat{\mu}_n = f_n$ за $|n|\leq N_0$?

Ответы

5 ChristianRemling Aug 20 2020 at 07:56

Да, это работает. Условие (1) говорит, что$\int |p(e^{ix})|^2\, d\mu(x)\ge 0$ для каждого полинома $p(z)=\sum_{n=0}^N p_n z^n$. По теореме Фейера-Рисса эти квадраты$|p|^2$ лежат точно над тригонометрическими полиномами $f=\sum_{|n|\le N} f_n z^n$ с участием $f\ge 0$ на $|z|=1$.

Итак, у нас есть положительный линейный функционал на этом векторном пространстве $\{ f = \sum_{|n|\le N} f_n z^n \}$. Его можно продолжить до положительного линейного функционала на$C(T)$; см. здесь . Это расширение дает нам желаемую меру.