Связь между компонентами пути двух топологических пространств и компонентами пути их произведения.
Позволять $X_1$ и $X_2$быть топологическими пространствами. Обозначим через$\pi_0(X)$ набор компонентов пути $X$. Я хотел бы знать, есть ли связь между$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$, и $\pi_0(X_1\times X_2)$.
Я уже показал это $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. Верно ли другое включение?
Благодаря!
Ответы
Прежде всего следует отметить, что технически это не набор, а естественное включение. $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$, поскольку произведение линейно связных пространств линейно связно. Если$X=A \cup B$, с участием $A \cap B = \emptyset$, то для любого набора $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$с этим разочаровывающим компонентом. Так что если$Y = \bigcup_i Y_i$ и $X=\bigcup_j X_j$, где $X_j,Y_i$ компоненты пути (которые не пересекаются!), имеем $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. Ясно, что это компоненты пути$X \times Y$, поскольку если есть точки соединения пути в разных, то будет путь, соединяющий $Y_i$ к $Y_i'$ или же $X_j$ к $X_j'$. Таким образом, мы получаем естественную биекцию (включение сюръективно)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ где $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.