Свойства точечного продукта

Aug 20 2020

Я хочу доказать или опровергнуть следующее утверждение:

Если взять два вектора $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$ в $\mathbb{R}^{d}$ ($d$ не обязательно 2, поэтому геометрические доказательства недоступны) и угол между ними, который определяется $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ имеет место следующее:

  1. Для любого вектора $\mathbf{u}$ ул $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ если обозначить $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ и $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ мы получим $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
  2. Для любого вектора $\mathbf{u}$ ул $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ если обозначить $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ и $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ мы получим $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

Я почти уверен, что вышесказанное верно, так как я провел много численных симуляций, и, похоже, это верно, то есть я считаю, что утверждение необходимо доказать, а не опровергнуть.

Я попытался использовать алгебраическое определение косинуса с некоторыми алгебраическими приемами (неравенство треугольника и т. Д.), И это не сработало, как и обобщенное неравенство косинуса (для векторов).

Ответы

2 user1551 Aug 20 2020 at 01:24

Оба утверждения ложны. Поскольку мы можем получить одно утверждение из другого, заменив$u$ от $-u$, достаточно опровергнуть первое утверждение.

Выберите два линейно независимых вектора $u$ и $v_1$ такой, что $v_1^Tu>0$. Позволять$v_2=2v_1$. потом$v_2^Tu>0$ но $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ Для конкретного контрпримера пусть \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} потом $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ и, следовательно $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ Возмущая $v_2$ немного вдоль нормального к себе направления, можно также получить контрпример, в котором $v_1$ и $v_2$ не являются линейно зависимыми.