Свойство центров треугольников

Question

$M$ пересечение трех чевианов в треугольнике $ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Легко доказать, что как для точек Нагеля, так и для точек Жергонна верно следующее уравнение:$$S = xyz / r,$$ где $S$ это площадь треугольника $ABC$ а также $r$ - радиус вписанной окружности.

Интересно, какие еще центры треугольников могут обладать таким же свойством и каково их геометрическое место?

Также обратите внимание, что для случая, когда точка $M$ это центроид, формула выглядит следующим образом: $S = 2xyz/R$, где $R$- радиус описанной окружности. Замена$x = b/2$, $y = a/2$, $z = c/2$ возвращает его к классике $S = abc/4R$. Возможно, существуют и другие центры треугольников, так что это уравнение$S = 2xyz/R$верно и для них. Интересно, в каком конкретном отношении эти гипотетические точки могут быть к центроиду$ABC$?

Answer 1

Это всего лишь код к вышеприведенным комментариям, но слишком длинный для комментария. Если$M$ имеет барицентрические координаты $(\lambda,\mu,\nu)$ (не обязательно положительный и нормализованный, чтобы $\lambda+\mu+\nu=1$), то оба условия сводятся к кубическому уравнению вида $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ - константа, которая зависит от (формы) треугольника и может быть легко вычислена явно.

Чтобы проверить, является ли данный центр (с функцией центра $f$ из Энциклопедии центров треугольников, нормализованные, чтобы быть однородными с $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), должно быть легко написать небольшую программу, скажем, в системе Mathematica, чтобы проверить это на месте.

Answer 2

GeoGebra нашла X (7) X (8) X (506) X (507) и еще несколько, если вы пропустите отдаленные пересечения чевиан.

PS: в GeoGebra обнаружена ошибка.
Надеюсь, это скоро исправят. [Изменить: теперь исправлено]