Теорема Ферма о суммах двух квадратов (каждое простое $p$ ул $p \not\equiv 3 \pmod 4$ представляет собой сумму двух квадратов)

Question

Я отражаю следующее доказательство (см. Ниже). У меня вопрос, где он использует данный факт ($p \not\equiv 3 \pmod 4$)? Я не уверен, что он использует этот факт, и это вроде как заставляет меня думать, что что-то не так. Был бы признателен за вашу помощь.

Проект возможного частичного доказательства. Позволять$p = 3 \pmod 4$быть простым числом. Предположить, что$p = a^2 + b^2$. потом$a^2 + b^2 = 0 \pmod p$, подразумевая, что $a^2 = -b^2 \pmod p$. Поднимая обе стороны в$(p-1)/2$, то, используя малую теорему Ферма, которую мы видели в наборе задач 6, заключаем, что $p \mid 2$.

Answer 1

Я предполагаю, что в вопросе есть опечатка. Если$p \equiv 1 \pmod{4}$, $(p-1)/2$ четное число, поэтому вы получите $1 \equiv 1 \pmod{p}$что не противоречит. Только тогда, когда$(p-1)/2$ странно, вы бы получили $ 1 \equiv -1 \pmod{p}$.

Answer 2

Подсказка: каждый идеальный квадрат конгруэнтен $\ 0\ $ или же $\ 1\ $ по модулю $\ 4\ $. Это легко показать на примерах. А отсюда легко следует, что простое число вида$\ 4k+3\ $ не может быть суммой двух полных квадратов.

Answer 3

Вопрос в том, где вы используете тот факт, что $p\equiv 3\mod 4$. Ответ: вы пользуетесь тем, что$(p-1)/2$ странно и так

$$(-b^2)^{\frac{p-1}{2}}=-1\mod p.$$

Это верно, только если $p\equiv 3\mod 4$