Тонкость в проблеме брахистохрона
Ниже приводится конкретный пример проблемы брахистохрона, с которой я впервые столкнулся в аспирантуре, и я иногда использовал ее как задачу при обучении КМ.
Частица запускается из состояния покоя в начале координат и вынуждена падать под действием силы тяжести по пути $y(x)$ который проходит через точку $x=5$, $y=-1$(в условных единицах, например в метрах). Будем считать, что гравитационный потенциал линейный,$V=mgz$.
а) Определите путь, который минимизирует затрачиваемое время. Составьте график этого пути.
б) Есть ли другой путь, по которому время остается неизменным? Если да, нарисуйте этот путь и объясните, является ли этот путь минимумом, максимумом или седловой точкой.
Решение проблемы брахистохрона, конечно, очень хорошо известно, так что это задание действительно касается поиска конкретной циклоиды, которая удовлетворяет граничным условиям. Как указывает часть b, их больше одной: стандартная циклоида и две циклоиды, которые `` отскакивают ''.

Теперь ясно, что простая циклоида - это абсолютный минимум, потому что время обхода пропорционально начерченному углу. Но как насчет двух других? Наивно, что они должны быть седлами, но вторая вариация функционала действия явно положительна, указывая на то, что они являются локальными минимумами. Но это не может быть правдой, если только в топологии пространства путей нет чего-то забавного. Являются ли высшие циклоиды седловыми точками или минимумами?
PS: Чтобы увидеть, что более высокие циклоиды не могут быть легко отклонены как решения, рассмотрим этот график компонент скорости $(v_x,v_y)$ как функция времени для второй циклоиды.

Соответствующие компоненты ускорения:

Ясно, что ускорение (и силы сдерживания) абсолютно плавные.
Ответы
TL; DR: путь, построенный кусочно из более чем одной циклоиды (каждая с возможно разной энергией$E$, см. ниже), а также с куспидом на $x$ось, не стационарна.
Набросок доказательства:
Напомним, что действие (= затраченное время) проблемы брахистохрона является$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ с граничными условиями $y(0)=0$ и $y(a)=b$. (Здесь$y$ось направлена вниз, и для простоты мы выбрали такие единицы времени и пространства, что $2g=1$.)
Физически мы требуем, чтобы путь $x\mapsto y(x)$по крайней мере непрерывно. Математически подынтегральное выражение должно быть просто интегрируемым по Лебегу. Чтобы быть как можно более простым, но также включать примеры OP, мы найдем удобный компромисс и предположим, что путь$x\mapsto y(x)$является кусочно - непрерывно дифференцируема, хотя мы разрешим производная$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ становиться особенными в точках между кусками, пока подынтегральное выражение остается интегрируемым по Лебегу.
Отсюда следует, что стационарный путь обязательно удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа (EL) внутри каждой части. В точках между деталями могут возникнуть дополнительные условия.
Поскольку лагранжиан $L$ не имеет явных $x$-зависимости сохраняется соответствующее понятие энергии (в пределах куска): $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$
Штучный раствор - циклоида: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$где приближение справедливо вблизи каспа. Cusp-уравнение становится$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ Вблизи куспида частица совершает свободное падение, плавное во времени. $t$.
Теперь идея состоит в том, чтобы обрезать выступ на некотором горизонтальном уровне. $y=\epsilon\ll 1$, т.е. на некоторых $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Мы рассматриваем для простоты только правую ветвь куспида - левая ветвь аналогична.) Действие куспида является$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ Для сравнения, действие горизонтального пути, как и ожидалось, быстрее: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Это показывает, что мы можем изменить действие на первый порядок в $\epsilon$, а значит, и путь не стационарный. $\Box$