Требуется ссылка на теорему теории гомотопий

Question

Я наткнулся на этот пост: Гомотопические группы компактного топологического многообразия, в котором точно указывается результат, который мне нужен для теоремы, над которой я работаю. Однако мне понадобится ссылка, поскольку аудитория не обязательно должна хорошо разбираться в теории гомотопии.

Может ли кто-нибудь подсказать, где я могу найти результат:

Теорема: каждая замкнутая связная гладкая$d$-многообразие $M$ имеет непрерывное и не нулевое гомотопическое отображение $f: S^{d'} \rightarrow M$ для какой-то сферы $S^{d'}$ с участием $1 \leq d' \leq \dim(M)$.

Другими словами, если $M$ замкнутое и связное гладкое многообразие, то существует нетривиальное $\pi_{d'}(M)$ для некоторых $d'\leq \dim(M)$.

Answer 1

Это не ссылка, а краткое доказательство:

если нет, то с $d'=1$ Мы видим, что $M$ должно быть просто связано.

В частности, если все его группы гомологий обращаются в нуль, то $M$стягивается. Но группы гомологий в размерности$> \dim(M)$ всегда обращаются в нуль, и из этой гипотезы следует (по Гуревичу), что группы гомологий в размерности $\leq \dim(M)$ тоже исчезнут.

Отсюда следует, что $M$ стягиваемо, что невозможно в силу двойственности Пуанкаре (либо mod $2$, или целиком, потому что $M$ односвязно)

Проще говоря: $M$ мод $2$-ориентируемый, поэтому у него должен быть нетривиальный мод $2$-когомология, это должно быть в измерении $\leq \dim(M)$, но гипотеза предполагает, что это не так, по теореме Гуревица.