Упражнение Херштейна: подгруппа конечной группы G такая, что $|G| \nmid i_G(H)!$ должен содержать нетривиальную нормальную подгруппу.

Aug 17 2020

Это «более сложная» задача 40 из Абстрактной алгебры (1996) Херштейна. Я просто не могу понять, как это сделать. хотя я нашел очень похожий пост . Ниже дословно формулируется вопрос.

Если $G$ конечная группа, $H$ подгруппа $G$ такой, что $n \nmid i_G(H)!$, где $n=|G|$, докажите, что существует нормальная подгруппа $N \neq (e)$ из $G$ содержалась в $H$.

PS Я застрял на этом около недели, и теперь я бросаю это полотенце, так что я действительно был бы признателен за решение, но я смиренно умоляю вас дать мне подсказки вместо этого, чтобы я мог решить эту проблему ( вроде) в одиночку, хотя, честно говоря, я потерял надежду.

Ответы

3 DavidA.Craven Aug 17 2020 at 21:34

Предположим, что $H$ имеет индекс $n$ в $G$. Действие на (скажем справа) смежных классах$H$ индуцирует гомоморфизм $\phi:G\to S_n$И ядро этой карты, ядро из$H$ в $G$, является наибольшей нормальной подгруппой $G$ содержалась в $H$. Таким образом, ядро ​​нетривиально тогда и только тогда, когда подгруппа$N$ вам нужно существует, поэтому позвольте $N$обозначим это ядро. поскольку$G/N$ изоморфна подгруппе $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Но$|G|\nmid n!$, и поэтому $|N|>1$.