условие на комплексные числа, чтобы сформировать циклический четырехугольник.
Рассмотрим комплексные числа $z,z^2,z^3,z^4$в том порядке, которые образуют вписанный четырехугольник. Если$\arg z=\alpha$ и $\alpha$ лежит в $[0,2\pi]$.Найти значения $\alpha$ может взять.
Я столкнулся с этим вопросом на одном из конкурсных экзаменов. Я попытался использовать свойство циклического четырехугольника, чтобы получить $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ Это можно упростить, но это не помогает.
Я также пробовал использовать теорему Кони, но без толку. Ответ дан, альфа лежит в$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
Ответы
Вот альтернативный способ визуализации $|z|=1$ - по математической индукции всего.
Предположим, что $z,z^2,z^3,z^4$ лежать на круге для ненулевого $z$. Затем, умножив все элементы на$z$ мы делаем вывод, что $z^2,z^3,z^4,z^5$ также лежат на круге, который должен быть таким же, как первый круг из-за наложения трех точек $z^2,z^3,z^4$. так же$z^6,z^7,...$ лежать на одном круге.
Теперь идите другим путем. Данный$z,z^2,z^3,z^4$ по кругу разделить на $z$, тогда $1,z,z^2,z^3$также лежат на круге, который снова совпадает с исходным. Повторяя этот процесс, мы находим$z^{-1},z^{-2},...$ тоже лежат на этом круге.
Таким образом, один и тот же круг содержит все точки вида $z^n$ для всех целых чисел $n$, положительный, отрицательный и ноль. Но круг должен быть ограничен, а набор только что идентифицированных степеней ограничен только для$|z|=1$.
Данный $|z|=1$, как аргумент ограничен - вопрос определения. Если нам потребуются очки$z,z^2,z^3,z^4$ чтобы быть в порядке вращения в четырехугольнике, мы должны иметь один из двух случаев:
Если заказ против часовой стрелки, то $0<\alpha<2\pi/3$ потому что для сохранения порядка вращения мы должны иметь $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$.
Если порядок по часовой стрелке, то обратные степени $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ расположены против часовой стрелки, и теперь нам требуется $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$. Это дает второй набор$4\pi/3<\alpha<2\pi$ если аргументы принимаются за $[0,2\pi)$.
Но, возможно, точки все еще лежат на окружности, даже если они не находятся в этом порядке вращения, поэтому вписанный четырехугольник существует, если он не вырожден парами совпадающих вершин. Такое совпадение происходит, только если$n\alpha$ кратно $2\pi$ для $n\in\{1,2,3\}$. Итак, с этой точки зрения$\alpha$ может быть что угодно в $[0,2\pi]$ Кроме $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$.
По Птолемею получаем: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ или $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ Теперь мы можем использовать неравенство треугольника.
То есть, для $|z|=r$ мы получаем: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ который дает $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ или $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ и с тех пор $\sin\alpha\neq0$, мы получаем $r=1$.
Как и в решении Михаила, используйте Птолемей, чтобы получить $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$.
Обратитесь к картинке, очевидно, что $|z^{2}|=1$ и, следовательно, $|z|=1$. Для$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$уравнение верно. Подсказка: под каким углом$\alpha$ делает направление $z^{2}+z+1$ стать противоположностью $z$?

Для вопроса о модуле воспользуемся классической эквивалентностью (см. Здесь ):
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
В нашем случае (1) становится:
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
Принимая во внимание различные упрощения, в частности, из $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) эквивалентно:
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
иначе сказано, с $z=re^{i\theta}$,
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
так как $\theta \ne k \pi$ (такие значения дали бы вырожденные четырехугольники), мы обязательно имеем $r-\tfrac1r=0$, давая $r=1$.
Что касается угла, предположим, что$z=re^{i \theta}$ с участием $0<\theta<\pi$ без ограничения общности (это с точностью до симметрии относительно $x$-ось). Это равносильно рассуждению о$1,z,z^2,z^3$ которые являются точками, полученными из $z,z^2,z^3,z^4$ по $-\theta$вращение. Геометрически ясно, что необходимое условие состоит в том, чтобы$z^3$ имеет аргумент меньше, чем $2 \pi$ (в противном случае порядок точек $1$ и $z^3$не будет уважаться). Это условие$arg(z^3)<2 \pi$ дает
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
Более того, этого условия на самом деле достаточно: все $\alpha$s проверка (3) дает адекватное решение.