Условие положительной энергии в квантовой теории поля для гамильтонианов, связанных с различными времениподобными векторами Киллинга

Question

Эффект Унру - хорошо известный пример, в котором два гамильтониана $H$ а также $\hat H$связанные с разными времениподобными векторными полями Киллинга, оба имеют нижнюю границу в одном и том же представлении гильбертова пространства, даже если они не связаны друг с другом какой-либо изометрией пространства-времени. Этот вопрос требует обобщения.

Рассмотрим квантовую теорию поля в плоском пространстве-времени, выраженную в терминах полевых операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Позволять$K$ а также $\hat K$быть двумя разными времениподобными векторными полями Киллинга, не обязательно связанными друг с другом какой-либо изометрией и не обязательно покрывающими все пространство-время. (В качестве примера подумайте о координатах Риндлера.) Пусть$R$ быть областью пространства-времени, в которой определены оба векторных поля Киллинга, и рассмотреть алгебру наблюдаемых в $R$. Позволять$H$ а также $\hat H$ - операторы (гамильтонианы), которые порождают сдвиги этих наблюдаемых вдоль $K$ а также $\hat K$соответственно.

Вопрос: Предположим, что алгебра представлена ​​в гильбертовом пространстве таким образом, что спектр одного из гамильтонианов$H$имеет нижнюю границу. Означает ли это, что спектр другого гамильтониана$\hat H$ также имеет нижнюю границу (в том же представлении в гильбертовом пространстве)?$^\dagger$

Я не ищу неопровержимых доказательств, а просто убедительный аргумент - что-то достаточно ясное, чтобы я мог проверить каждый шаг в теории свободного поля.

Кстати, на случай, если это не знакомо: плотность гамильтониана не обязательно положительно определена в квантовой теории поля, даже в том представлении, где сам гамильтониан положительно определен. См. Fewster (2005) «Энергетические неравенства в квантовой теории поля»,https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, в котором говорится (стр. 2):

Давно известно, что квантовые поля нарушают все такие поточечные энергетические условия [4], и во многих моделях плотность энергии фактически неограничена снизу на классе физически разумных состояний.

$^\dagger$ ^{Вопрос относится к тому, как операторы представлены в гильбертовом пространстве. Это важно, потому что$H$обычно не имеет нижней границы в большинстве представлений гильбертова пространства, даже если имеет в одном из них. Условие спектра - это свойство конкретного представления в гильбертовом пространстве, а не просто свойство абстрактной алгебры наблюдаемых.}

Answer 1

Ответ - нет , и, по иронии судьбы, пример, который я использовал для обоснования вопроса, на самом деле является контрпримером: спектр гамильтониана Риндлера не имеет нижней границы.

Гамильтониан Риндлера генерирует бусты в пространстве-времени Минковского. Выражение в терминах тензора энергии-импульса показано в уравнении (25) в

• Якобсон, «Черные дыры и излучение Хокинга в пространстве-времени и его аналоги», https://arxiv.org/abs/1212.6821

Это выражение ясно показывает, что гамильтониан Риндлера не может иметь нижней границы.

Оглядываясь назад, это очевидно по симметрии. Обратное усиление аналогично усилению в сочетании с пространственным отражением. Пространственное отражение не меняет спектр, но обратное меняет знак спектра. Единственный способ, которым они могут быть такими же, - это если спектр симметричен относительно нуля. Следовательно, если у спектра нет верхней границы, он не может иметь и нижней границы.

---

Примечания:

1. В статье Якобсона (цитируемой выше) рассматривается только частичный гамильтониан, полученный интегрированием по одному «клину Риндлера», но эта поверхность интегрирования не является поверхностью Коши. Чтобы увидеть полный гамильтониан на поверхности Коши, нам нужно рассмотреть вместе левый и правый клин Риндлера, и тогда очевидно, что полный гамильтониан не может иметь нижней границы.

2. Остерегайтесь того, что в некоторой литературе об эффекте Унру название «вакуумное состояние» неявно переопределяется и означает нечто иное, чем «состояние с наименьшей энергией».

3. Для тщательного анализа некоторых тонкостей см. Requardt, «Строгая связь между квантовой теорией поля Риндлера и Минковского в сценарии Унру», https://arxiv.org/abs/1804.09403

Answer 2

В QFT (квантовой теории поля) плотность лагранжиана $\mathcal L$построен так, чтобы быть лоренц-инвариантным. На основе лагранжиана вы строите гамильтониану плотность$\mathcal H$, который должен быть положительно определенным.

Если вы измените систему отсчета, формально лагранжиан не изменится, следовательно, не изменится и гамильтониан. Следовательно, положительная определенность гамильтониана сохранится, даже если его применить к преобразованным полям.

Answer 3

Предположим, вы можете запустить пылесос Минковского. $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Затем для любого времениподобного вектора Киллинга (который я буду рассматривать как задающий временную кривую или некоторого ускоренного наблюдателя) мы можем спросить, существует ли вакуум. Локально область в пространстве, над которой определяется убивающее поле, может быть представлена ​​в виде координат Риндлера. Другими словами, в каждый момент времени мы знаем, что такое ускорение, и общая ковариация говорит вам, что локально физика такая же, как пространство Минковского. Таким образом, вакуум Минковского для этого наблюдателя должен выглядеть как тепловое состояние, возможно, с переменной температурой. Другими словами, ускоренный наблюдатель всегда видит эффективный горизонт, которому можно присвоить температуру, поэтому на ваши вопросы должен отвечать эффект Унру.