В чем ошибка этого «доказательства» того, что 3 = 0? [дубликат]

Aug 17 2020

Я видел это видео (ссылка внизу) с предполагаемым «доказательством» того, что$3=0$. Это выглядит следующим образом:

Позволять $x$ быть решением $$x^2+x+1=0 \tag1$$
поскольку $x\neq0$, мы можем разделить обе части на $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
Из $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
Замена $x+1=-x^2$ в $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ Замена $x=1$ в $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$

Объяснение, данное в видео:

Подстановка $x+1=-x^2$ в $(2)$ создает постороннее решение $x=1$ которое не является решением исходного уравнения $(1)$, $x^2+x+1=0$.
Уравнения$(1)$ и $(2)$ есть решения $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, но после замены уравнение $(3)$ имеет эти два решения и $1$.

По сути, это говорит о том, что проблема подменяется $x+1=-x^2$, но я не уверен, действительно ли в этом проблема. Как замена может вызвать проблему, если все до замены было правильным?

Прочитав комментарии, я понял, что многие из них говорят, что настоящая проблема $(4)$, потому как $1=x^3$ также может означать, что $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. Не рассматривать эти решения - проблема с «доказательством». Также необходимо проверить эти решения, прежде чем делать выводы, и «выбрать» то, что верное.

Итак, мой вопрос: в чем проблема с приведенным выше "доказательством" того, что $3=0$?


Видео: «Докажи» 3 = 0. Сможете ли вы обнаружить ошибку? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.

Ответы

10 Anand Aug 17 2020 at 13:58

Проблема в $x^3=1$ не означает, что $x=1$. Уравнение$x^3-1=0$ имеет три возможных корня и корень $x=1$ является дополнительно сгенерированным корнем.

7 YvesDaoust Aug 17 2020 at 14:12

Подстановка члена уравнения в себя может привести к чужеродным решениям.

Например $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$

Вы можете это сделать, если сохраните исходное уравнение.


Безопасные операции:

  • добавление термина для обоих участников;

  • умножение обоих членов на ненулевой коэффициент;

  • применение обратимого преобразования к обоим элементам.

Все остальное (например, возведение обоих членов в квадрат) должно выполняться с осторожностью.

3 BenGrossmann Aug 17 2020 at 14:10

Подмена может вызвать посторонний корень, потому что это необратимый шаг. То есть ясно, что если$x^2 + x + 1 = 0$, то имеем $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$, и заменой $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ Однако обратное неверно: если $-x^2 + 1/x = 0$, то не обязательно, что $-x^2 = x+1$, из чего следовало бы, что $x^2 + x + 1 = 0$.

Действительно, мы видим, что так решение $x = 1$ вписывается: удовлетворяет $-x^2 + 1/x = 0$, но нет $-x^2 = x+1$.


Другая перспектива: замену можно резюмировать следующим умножением: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ Умножение $x^2 + x + 1$ другим множителем дал многочлену другой корень.

2 YvesDaoust Aug 17 2020 at 14:36

Позволять $x\ne0$. потом

$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$правда. Но

$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$не является* ! Логическое следствие остается только слева направо.

Как показано на графике, кривые $-x^2$ и $-\dfrac1x$ пересекаются, но не с $x+1$. Приравнивая два вышеуказанных RHS, вы теряете информацию и вводите нерешения.


* Если подумать, это все равно что сказать

$$a=b\implies a=c\land b=c$$ без разницы $c$.