Верно ли правило цепочки для общих производных финансовых инструментов?
Для векторного пространства $\mathbb{R}^n$ у нас есть частные производные, которые подчиняются цепному правилу, например:
позволять $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, примем стандартную основу для $\mathbb{R}^n$ является $x^i$ и стандартная основа для $\mathbb{R}^m$ является $y^j$Итак, для композиции у нас есть:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
что является стандартным цепным правилом.
Теперь рассмотрим производную общего случая как линейное отображение между алгебрами $v:A\to B$ с участием $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
В этом случае цепное правило для композиции $v(f\circ g)$все еще держишься? Вроде нет?
(мы знаем дифференциал $dF_p:T_pM\to T_p N$ цепное правило все еще сохраняется)
Ответы
В случае гладких многообразий то, что вы называете цепным правилом, является проявлением функториальности функтора, принимающего многообразие с отмеченной точкой $(M,p)$ к его касательному пространству $T_pM$ и взяв гладкую карту таких объектов $f:(M,p)\to (N,q)$ к соответствующему дифференциалу $df_p:T_pM\to T_qN$. Функциональность говорит, что данная композиция$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ есть отношение $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. На менее заумном языке это просто говорит о том, что дифференциал композиции - это композиция дифференциалов. Конкретно говоря, учитывая$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ как и выше, мы знаем, что дифференциалы соответственно $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ и $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ где координаты на первом пробеле $x^1,\ldots, x^n$ а координаты на втором пространстве равны $y^1,\ldots, y^m$ а первая матрица $m\times n$, а второй - $1\times m$. Составная часть дифференциала - это умножение этих матриц, как вы пишете$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ где это $1\times n$ матрица.
Вы задаете другой вопрос. Скажем, что$A$ и $B$ находятся $k-$алгебры для некоторого поля $k$. Тогда морфизм$v:A\to B$ который $k-$линейный и Лейбниц (т.е. $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) - это тип дифференциального оператора. Однако здесь неясно, что вы хотите, чтобы цепное правило значило. Цепное правило - это то, что происходит, когда мы применяем дифференциальный оператор к композиции функций в нашем многообразии. В этом случае,$f\circ g$ даже не имеет смысла априори.
Я делаю следующее предложение: учитывая категорию геометрических пространств $\mathscr{C}$, и "функция" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, присваивая каждому пространству $X$ алгебраическая структура $F(X)$мы говорим, что $F$подчиняется цепному правилу, если$F$ является функториальным в смысле вышеизложенного: данный $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ у нас есть $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Это, по общему признанию, немного расплывчато, но показывает, что мы «использовали» для определения цепного правила.