Вероятность и ожидание вопрос книги ИМО
Я пытался решить эту проблему, но не понял решения, когда увидел его.
Проблема: Есть$8$ девушки и $7$мальчики на светской вечеринке, сидящие за круглым столом. Если все девочки сидят вместе, то с мальчиками примыкают только две девочки. Если девочки и мальчики сидят поочерёдно, то есть$14$пары сидений, прилегающие к мальчику и девочке. Сколько в среднем пар мест для девочек и мальчиков?
Комментарии: Моя проблема в том, что когда я посмотрел на решение, я не понял, почему они приняли вероятность $1$ пара и умноженный на $15$(общее кол-во мест). Я не уверен, что наличие пары на одном месте не зависит от наличия пары на другом месте, поскольку количество оставшихся мальчиков / девочек различается.
Может ли кто-нибудь помочь мне понять, что не так с моими рассуждениями и почему вероятность сесть $i,j$ наличие пары независимо от сиденья $j,j+1$ имея пару?
Ответы
Позволять $A$ - циклическая абелева группа $\Bbb Z/15$ с участием $15$элементы. Рассмотрим пространство$\Omega$ из всех $\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$, так что $\sum \omega=8$. Здесь мы определяем$\omega$ с кортежем $(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$ и $\sum\omega$ это сумма компонентов $\omega$. Определим случайные величины$X_a$ для $a\in A$ определяется $X_a(\omega)=\omega_a$.
(Мы считаем девушку соответствующей $1$ вход в $\omega$, мальчик к $0$ запись, и используйте циклический порядок индексов, чтобы позволить им располагаться в одном и том же порядке циклически за круглым столом.)
Функция, определяющая количество соседних пар $01$ и / или $10$ случайная величина $Z$... $$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$ последняя строка, использующая циклическую симметрию на $\Omega$ индуцированный действием $A$.
Этот аргумент «дезагрегирует» информацию и позволяет нам смотреть только на места, помеченные $0$ и $1$.